За́мкнені мно́жини в математичному аналізі та функціональному аналізі — задається як доповнення до деякої відкритої множини.

Означення

Нехай дано топологічний простір  . Множина   називаєтся замкненою відносно топології  , якщо існує відкрита множина   така що  

Приклади

Властивості

Із аксіом означення топології випливає:

  • перетин будь-якого набору закритих множин є закритою множиною
  • обєдання скінченної кількості закритих множин є закритою множиною

Інші властивості:

  • множина може бути ні закритою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в  ,   (при стандартній топології на  )
  • множина може бути і відкритою і закритою водночас - такими є всі підмножини в дискретній топології(де топологія - набір всіх підмножин даної множини)

Див. також

Література

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа. 
  3. R.Wald, General Relativity