Замкнута множина

За́мкнені мно́жини в математичному аналізі та функціональному аналізі — це множина, яка складається з усіх елементів універсальної множини, що не входять до даної відкритої множини (див. Доповнення множин).

Означення

Нехай дано топологічний простір $(X,{\mathcal {T}})$. Множина $V\subset X$ называєтся замкненою відносно топології ${\mathcal {T}}$, якщо існує відкрита множина $U\in {\mathcal {T}},$ така що $V=X\setminus U.$

Приклади

• Весь простір $X$, а також порожня множина $\emptyset$ завжди замкнені.
• Інтервал $[a,b]\subset \mathbb {R}$ замкнений в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
• Множина $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ замкнена в просторі раціональних чисел $\mathbb {Q}$, але не замкнене в просторі всіх дійсних чисел $\mathbb {R}$.

Властивості

Із аксіом означення топології випливає:

• перетин будь-якого набору закритих множин є закритою множиною
• обєдання скінченної кількості закритих множин є закритою множиною

Інші властивості:

• множина може бути ні закритою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в $\mathbb {R}$, $[a,b)$ (при стандартній топології на $\mathbb {R}$)
• множина може бути і відкритою і закритою водночас - такими є всі підмножини в дискретній топології(де топологія - набір всіх підмножин даної множини)

Див. також

• Відкрита множина.

Література

1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
2. Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа. 
3. R.Wald, General Relativity