За́мкнута множина́ — підмножина простору доповнення до якої відкрита.

Означення

Нехай дано топологічний простір  . Множина   називаєтся замкнутою відносно топології  , якщо існує відкрита множина   така що  

Приклади

Властивості

Із аксіом означення топології випливає:

  • перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
  • об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною

Інші властивості:

  • множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в  ,   (при стандартній топології на  )
  • множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)

Див. також

Література

  1. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин (1989). Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: «Наука». 
  2. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  3. Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа.