Перегляд вихідного коду сторінки Замкнута множина

'''За́мкнені мно́жини''' в [[Математичний аналіз|математичному аналізі]] та [[Функціональний аналіз|функціональному аналізі]]&nbsp;— задається як [[доповнення множин|доповнення]] до деякої [[відкрита множина|відкритої множини]].

== Означення ==

Нехай дано [[топологічний простір]] <math>(X,\mathcal{T})</math>. [[Множина]] <math>V \subset X</math> називаєтся '''замкненою''' відносно топології <math>\mathcal{T}</math>, якщо існує [[відкрита множина]] <math>U \in \mathcal{T},</math> така що <math>V = X \setminus U.</math>

== Приклади ==

* Весь простір <math>X</math>, а також [[порожня множина]] <math>\emptyset</math> завжди замкнені.
* [[Інтервал]] <math>[a,b] \subset \R</math> замкнений в стандартній [[топологія|топології]] на [[Дійсне число|дійсній прямій]], бо його [[доповнення множин|доповнення]] відкрите. 
* Множина <math>\Q \cap [0,1]</math> замкнена в просторі [[Раціональне число|раціональних чисел]] <math>\Q</math>, але не замкнене в просторі всіх [[дійсні числа|дійсних чисел]] <math>\R</math>.

== Властивості ==

Із аксіом означення [[топологічний простір|топології]] випливає:
* перетин будь-якого набору закритих множин є закритою множиною 
* обєдання скінченної кількості закритих множин є закритою множиною
Інші властивості:
* множина може бути ні закритою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в <math>\mathbb{R}</math>, <math>[a,b)</math> (при [[топологія відкритих куль|стандартній]] топології на <math>\mathbb{R}</math>)
* множина може бути і відкритою і закритою водночас - такими є всі підмножини в дискретній топології(де топологія - набір всіх підмножин даної множини)

== Див. також ==

* [[Відкрита множина]].
* [[Замикання (топологія)]].

==Література==
# {{cite book
|автор = С. Т. Завало
|title = Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
|видавництво = Радянська школа
|дата = 1972
|знаходження = Київ}}
# {{cite book
|автор = Фихтенгольц
|title = Основы математического анализа
|видавництво = Радянська школа
|дата = 1954
|знаходження = Москва}}
# R.Wald, ''General Relativity''

[[Категорія:Топологія]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]

[[ar:مجموعة مغلقة]]
[[ca:Conjunt tancat]]
[[cs:Uzavřená množina]]
[[de:Abgeschlossene Menge]]
[[en:Closed set]]
[[eo:Fermita aro]]
[[es:Conjunto cerrado]]
[[fi:Suljettu joukko]]
[[fr:Fermé (topologie)]]
[[he:קבוצה סגורה]]
[[is:Lokað mengi]]
[[it:Insieme chiuso]]
[[ko:닫힌 집합]]
[[nl:Gesloten verzameling]]
[[no:Lukket mengde]]
[[pl:Zbiór domknięty]]
[[pt:Conjunto fechado]]
[[ro:Mulţime închisă]]
[[ru:Замкнутое множество]]
[[sk:Uzavretá množina]]
[[sv:Sluten mängd]]
[[zh:闭集]]
[[zh-classical:閉集]]