Загальна лінійна група

Версія від 18:35, 17 лютого 2010, створена IhorLviv (обговорення | внесок) (Створена сторінка: '''Загальна лінійна група''' — в математиці група всіх [[обе...)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)

Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.

Формальне визначення

Загальною лінійною групою порядку n називаєтьсячетвірка  , де:

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Векторні простори

Якщо Vлінійний простір над полем F, то загальною лінійною групою лінійного простру   або   називається група всіх автоморфізмів V, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень   де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність  , то   і   ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів V. Якщо   — базис, і автоморфізмів  , маємо

 

для деяких констант  . Матриця, відповідна Т має елементами  .

Визначники

Матриця є оборотна над полем F, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином,   може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця R маємо: матриця над R є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в R. Отже,   може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальна лінійна група

Спеціальною лінійною групою порядку n над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку n з елементами поля K, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається  .

Примітки

  • Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
  • Спеціальну лінійну групу   можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .

Скінченні поля

Якщо K є скінченним полем з q елементами, іноді використовується запис  .

Порядок

Порядок групи  

 .

Для прикладу, порядок   рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи  

Аналогічні формули для  :

 .

Властивості

  • Якщо n > 2, то група   не є абелевою.
  •   є нормальною підгрупою  .
  • Нехай   буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:
     .
  •   є напівпростим добутком  

Пов'язані групи

Проективна група

Проективна група   і проектні спеціальні лінійні групи   є фактор-групами   і   відносно скалярних матриць.

Афінна група

Афінна група   — розширення   за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпростого добутку:

 . Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.