Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.

Формальне визначення

Загальною лінійною групою порядку   називається четвірка  , де:

  •   є асоціативним кільцем з одиницею,
  •   — оборотні матриці порядку   над даним кільцем,
  • Груповою операцією є множення матриць,
  • Зворотним елементом є обернена матриця,
  • Одиничним елементом є одинична матриця.

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Векторні простори

Якщо  векторний простір над полем  , то загальною лінійною групою лінійного простру   або   називається група всіх автоморфізмів  , тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень   де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність  , то   і   ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів  . Якщо   — базис, і автоморфізмів  , маємо

 

для деяких констант  . Матриця, відповідна   має елементами  .

Визначники

Матриця є оборотна над полем  , якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином,   може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця   маємо: матриця над   є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в  . Отже,   може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальна лінійна група

Спеціальною лінійною групою порядку   над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку   з елементами поля  , визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається  .

Примітки

  • Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
  • Спеціальну лінійну групу   можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .

Скінченні поля

Якщо   є скінченним полем з   елементами, іноді використовується запис  .

Порядок

Порядок групи  

 .

Для прикладу, порядок   рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи  

Аналогічні формули для  :

 .

Властивості

  • Якщо n > 2, то група   не є абелевою.
  •   є нормальною підгрупою  .
  • Нехай   буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:
     .
  •   є напівпростим добутком  

Пов'язані групи

Проективна група

Проективна група   і проектні спеціальні лінійні групи   є факторгрупами   і   відносно скалярних матриць.

Афінна група

Афінна група   — розширення   за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпростого добутку:

 . Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.

Література

  • Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703