Перегляд вихідного коду сторінки Еліпс

{{Otheruses|Еліпс (мова)}}
[[Файл:Conicas1.PNG|right|thumb|Еліпс утворений перетином [[конус]]а і нахиленої площини]]
[[Файл:ellips.png|thumb|right|200px|Еліпс із фокусами]]
В [[геометрія|геометрії]], '''еліпс'''&nbsp;— [[Плоска крива|крива на площині]], що проходить довкола двох [[Фокус (математика)|точок фокусів]], таким чином, що сума відстаней до двох точок фокусів залишається сталою для кожної точки кривої. Окремим випадком еліпса є коло, що є еліпсом в якого обидві точки фокусу суміщені в одну. Форма еліпса (величина його «витягнутості») задається [[ексцентриситет]]ом, який у випадку для еліпса може приймати будь-яке значення від 0 (граничний випадок для кола) до значення як змога близького до 1, не включаючи саме значення 1. Еліпс&nbsp;— [[Криві другого порядку|крива другого порядку]].

Еліпс це [[Крива|замкнений]] тип [[Конічні перетини|конічного перетину]]: двовимірна крива, що утворюються від перетину [[конус]]а [[Площина|площиною]] (див. малюнок праворуч). Еліпси мають дуже багато спільного із іншими формами конічних перерізів: [[парабола|параболою]] і [[Гіпербола (математика)|гіперболою]], обидві з яких є відкритими і [[Обмежена множина|необмеженими]] кривими. [[Розріз (креслення)|Перетином]] [[Циліндр|циліндра]] також є еліпс, доки переріз не є паралельним осі обертання циліндра.

Еліпси широко використовуються в фізиці, астрономії та інженерії. Наприклад, [[Орбіта|орбіти]] планет нашої сонячної системи є дуже близькими до еліпсів, де однією із фокусних точок буде спільний барицентр планети і Сонця. Те саме є справедливим і для [[супутник]]ів, що обертаються довкола планет, і для інших систем, що складаються з двох астрономічних тіл. Форми планет і зірок часто добре описуються за допомогою [[еліпсоїд]]ів.

Термін походить від {{lang-el|ἔλλειψις}}&nbsp;— ''нестача'', ''пропуск'', ''випадіння'' (мається на увазі «неповнота» або «дефектність» еліпса порівняно з «повним» колом або кругом).

== Визначення еліпса як геометричного місця точок ==
[[Файл:Ellipse-def-e.svg|thumb|Еліпс: Визначення]]
[[Файл:Ellipse-def-dc.svg|thumb|Еліпс: визначення із направляючим колом]]
Еліпс можна визначити геометрично як набір точок ([[геометричне місце точок]]) у Евклідовому просторі:

* '''Еліпс''' це множина точок, така, що для кожної точки <math>P</math> цієї множини, сума відстаней <math>|PF_1|,\ |PF_2|</math> до двох різних фіксованих точок <math>F_1</math>, <math>F_2</math>, що називаються '''фокусами''', залишається сталою, що зазвичай позначається як <math>2a, \ a>0\ .</math> Для того, щоб виключити особливий випадок із лінійним відрізком, припустимо що <math>2a>|F_1F_2|.</math> У більш формальному вигляді, для заданого <math>a</math>, еліпс є множиною <math>E = \{P\in \mathbb{R}^2 \mid |PF_2| +|PF_1 | = 2a \}\ .</math>
Середня точка <math>C</math> відрізку, що з'єднує між собою точки фокусів називається '''центром''' еліпса. Пряма, що проходить через фокуси називається великою або '''головною віссю''', а пряма, що перпендикулярна до неї через центр називається '''малою віссю'''. На головній осі знаходяться '''вершини''' <math>V_1,V_2</math>, від яких відстань до центра дорівнює <math>a</math>. Відстань <math>c</math> від фокусів до центра називається '''фокусною відстанню''' або '''лінійним ексцентриситетом'''. Співвідношення <math>\frac{c}{a}</math> це '''ексцентриситет''' <math>e</math>.

Випадок коли <math>F_1=F_2</math> приводить до утворення кола. Він також враховується.

Рівняння <math>|PF_2| + |PF_1 | = 2a</math> можна розглянути в іншій формі (див. малюнок):<br/>
Якщо <math>c_2</math> є колом із центром в точці <math>F_2</math> і радіусом <math>2a</math>, тоді відстань від точки <math>P</math> до кола <math>c_2</math> дорівнює відстані до фокусу <math>F_1</math>:
:: <math>|PF_1|=|Pc_2|.</math>
<math>c_2</math> називається '''круговою директрисою''' (що відноситься до фокуса <math>F_2</math>) еліпса.<ref>{{citation|first1=Tom M.|last1=Apostol|first2=Mamikon A.|last2=Mnatsakanian|title=New Horizons in Geometry|year=2012|publisher=The Mathematical Association of America|series=The Dolciani Mathematical Expositions #47|isbn=978-0-88385-354-2|page=251}}</ref><ref>The German term for this circle is ''Leitkreis'' which can be translated as «Director circle», but that term has a different meaning in the English literature (see [[Director circle]]).</ref> Цей випадок не треба плутати із визначенням еліпса за допомогою директриси, що є прямою лінією.

При розгляді [[Кулі Данделена|куль Данделена]] можна довести наступне твердження:
* Будь-який ''перетин конуса площиною'', який не проходить через вершину конуса і нахил якої менший ніж нахил прямих, що утворюють конус, є еліпсом.

== Аналітичне визначення ==
[[Файл:Ellipse1.svg|thumb|Еліпс в прямокутній системі координат]]
Еліпсом називають лінію, яка в деякій [[декартова система координат|декартовій прямокутній системі координат]] задається рівнянням:
: <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>

Еліпс належить до [[Криві другого порядку|кривих другого порядку]].

== Визначальна властивість еліпса ==
Точки <math>\left. F_1 \right.</math> і <math>\left. F_2 \right.</math> називають [[фокус (математика)|фокусами]] еліпса, а відстань між ними&nbsp;— фокусною відстанню, її позначають через <math>\boldsymbol{2c}</math>, отже, <math>\left| F_1 F_2 \right| = 2c</math>. Суму відстаней від будь-якої точки <math>\left. M \right.</math> еліпса до фокусів <math>\left. F_1 \right.</math> і <math>\left. F_2 \right.</math> позначимо <math>\boldsymbol{2a}</math>. Тоді за означенням маємо: <math>\left. 2a > 2c,\;a>c \right.</math>. Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок <math>\left. M \right.</math>, які задовольняють умові: <math>\left| F_1 M \right| + \left| F_2 M \right| = 2a</math><br/>

== Геометричне визначення ==
Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок <math>\left. F_1 \right.</math> і <math>\left. F_2 \right.</math> цієї площини є величина стала, більша за відстань між <math>\left. F_1 \right.</math> і <math>\left. F_2 \right.</math>.<br/>

== Елементи еліпса ==

=== Вершини еліпса ===
Точки <math>A,\;A_1,\;B,\;B_1</math> перетину еліпса з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка <math>\left| F_1 F_2 \right|</math>, а вісь <math>Ox</math> збігалася з прямою <math>\left( F_1 F_2 \right)</math>, називають вершинами еліпса.

=== Осі еліпса ===
Відрізок <math>\left| A A_1 \right| = 2a</math>, що проходить через обидва фокуси <math>F_1</math> і <math>F_2</math>, називають великою віссю еліпса, а перпендикулярний йому відрізок <math>\left| B B_1 \right| = 2b</math>, що перетинається з великою віссю в центрі еліпса <math>O</math>&nbsp;— відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові <math>a^2 - b^2 = c^2</math>. Еліпс симетричний відносно своїх осей та центра.

=== Директриса та ексцентриситет ===
Число <math>e = {c \over a}</math>&nbsp;— це [[ексцентриситет]] еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпса <math>\boldsymbol{e} < 1</math>. Прямі, рівняння яких <math> x = - {a \over e} </math> та <math> x = {a \over e}</math> називаються директрисами еліпса. Ці прямі визначаються тим, що відношення відстані між будь-якою точкою еліпса та найближчим фокусом до відстані до найближчої директриси є сталим і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі <math>\boldsymbol{a}</math> і <math>\boldsymbol{b}</math>, відстань <math>\boldsymbol{c}</math> фокуса від центру, ексцентриситет <math>\boldsymbol{e}</math>. Залежність між ними виражається формулами: <math>a^2 = b^2 + c^2,\;e = {c \over a}</math>. Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі <math>a</math> і <math>b</math>, або одну піввісь і ексцентриситет і&nbsp;т.&nbsp;д.

Якщо точки <math>F_1</math> і <math>F_2</math> збігаються, то еліпс стає колом радіуса <math>a</math>. При цьому <math>a = b,\;e = 0</math>. Отже, [[коло]] є окремим випадком еліпса.

== Еліпс у декартовій системі координат ==
[[Файл:Ellipse-param.svg|thumb|параметри, що описують форму еліпса:<br/>
a: велика піввісь, <br/>
b: мала піввісь<br/>
c: лінійний ексцентриситет, <br/>
p: фокальний параметр еліпса.]]

=== Канонічне рівняння еліпса ===
Якщо в Декартовій системі координат задати еліпс таким чином, що початок координат знаходитиметься в центрі еліпса, вісь ''x'' лежатиме на великій осі і
: ''фокуси'' є точками, що задані як <math>F_1=(c,0),\ F_2=(-c,0)</math>,
: ''вершинами'' є точки <math>V_1=(a, 0),\ V_2=(-a,0)</math>.
Для довільної точки <math>(x,y)</math> відстань до фокусу <math>(c,0)</math> становитиме
<math>\sqrt{ (x-c)^2 + y^2 }</math>, а до другого фокусу <math>\sqrt{ (x+c)^2 + y^2 }</math>. Оскільки точка <math>(x,y)</math> знаходиться на еліпсі, якщо виконується наступне рівняння
: <math>\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a \ .</math>
Уберемо корені піднесенням обох частин у квадрат і використаємо рівняння <math>b^2 = a^2-c^2</math>, в результаті чого отримаємо рівняння еліпса:
* <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1 </math> якщо розв'язати його для y, то рівняння матиме вигляд:
: <math>y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}.</math>
Параметри, які визначають форму еліпса <math>a,\; b</math> називаються великою і малою півосями еліпса. Точки <math>V_3=(0,b),\; V_4=(0,-b)</math> є '''вершинами''' еліпса на малій півосі.

З цього рівняння випливає, що еліпс є ''симетричним'' відносно обох осей координат і таким чином є симетричним відносно початку координат.

=== Фокальний параметр ===
Довжина відрізку, що є половиною хорди, яка проходить через один із фокусів еліпса, перпендикулярно до великої осі називається '''фокальним параметром''' <math>p</math>. Якщо його розрахувати, отримаємо:
* <math>p = \frac{b^2}a.</math>
Фокальний параметр <math>p</math> також можна розглядати як ''радіус кривини'' [[Стичне коло|стичного кола]] у вершинах <math>(\pm a,0)</math>.

=== Дотична ===
Довільно обрана пряма <math>g</math> може перетинати еліпс у ''0, 1 або 2'' точках. У першому випадку така пряма називається ''зовнішньою прямою'', у другому випадку '''дотичною''' і ''січною'' у третьому випадку. Через одну точку еліпса можна провести лише ''одну'' дотичну.
: Дотична в точці <math>(x_0,y_0)</math> еліпса <math>\; \tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}= 1\; </math> має наступне рівняння координат:
:* <math>\ \frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y = 1\; .</math>
: Рівняння дотичної у векторній формі є наступним:
:* <math>\ \vec x=\begin{pmatrix}x_0\\ y_0 \end{pmatrix}+s\; \begin{pmatrix}-y_0a^2\\ x_0b^2 \end{pmatrix}\quad </math> із<math> \quad s\in\mathbb{R}\ .</math>

'''Доведення:'''
Нехай <math>(x_0,y_0)</math> буде точкою еліпса, а <math> \;\vec x=\begin{pmatrix}x_0\\ y_0 \end{pmatrix}+s\; \begin{pmatrix}u\\ v \end{pmatrix}\;</math> є векторним рівнянням прямої <math>g</math> (що містить <math>(x_0,y_0)</math>). Якщо додати рівняння прямої у рівняння еліпса і відповідно <math>\; \tfrac{x_0^2}{a^2}+\tfrac{y_0^2}{b^2}=1\;</math> отримаємо:
: <math>\frac{(x_0+su)^2}{a^2}+\frac{(y_0+sv)^2}{b^2}= 1\ , \quad \longrightarrow\quad 2s\;\left(\frac{x_0u}{a^2}+\frac{y_0v}{b^2}\right) + s^2\;\left(\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}\right)= 0\ . </math>
У випадку, коли <math>\tfrac{x_0}{a^2}u+\tfrac{y_0}{b^2}v=0\; (1)</math>
пряма <math>g</math> і еліпс мають лише одну спільну точку <math>(x_0,y_0)</math> і <math>g</math> є ''дотичною''. Напрям дотичної є ортогональним вектору <math> (\tfrac{x_0}{a^2},\tfrac{y_0}{b^2})^T</math> що є вектором нормалі відносно дотичної, а дотична має рівняння <math>\;\tfrac{x_0}{a^2}x+\tfrac{y_0}{b^2}y = k\; </math> із досі не відомим <math>k</math>. Оскільки <math>(x_0,y_0)</math> знаходиться і на дотичній і на еліпсі, отримаємо <math>k=1</math>.

У випадку, коли <math>\tfrac{x_0}{a^2}u+\tfrac{y_0}{b^2}v\ne0\; (2)</math> пряма <math>g</math> має другу спільну точку із еліпсом.

із допомогою рівняння (1) можна легко перевірити, що <math>\;(-y_0a^2,x_0b^2)^T\; </math> є вектором дотичної у точці <math>(x_0,y_0)</math>, що доводить векторне рівняння.

''Примітка:'' Якщо <math>(x_0,y_0)</math> і <math>(u,v)</math> є двома точками на еліпсі, такими що виконується рівняння
<math>\; \tfrac{x_0u}{a^2}+\tfrac{y_0v}{b^2}=0\;</math>, тоді точки знаходяться на двох '''спряжених діаметрах''' еліпса. У випадку коли <math>a=b</math> еліпс є колом, а «спряженість» означатиме «ортогональність».

=== Параметричне рівняння еліпса ===
[[Файл:ellipse_elliptic_coords.svg|thumb|right|Еліпс в [[полярна система координат|полярній системі координат]].]]

За допомогою [[Тригонометричні функції|тригонометричних функцій]] <math>\cos,\sin</math>, [[параметричне рівняння|параметричне представлення]] еліпса <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}= 1</math> можна задати так:
: <math>\left\{\begin{matrix} x = a \cos \alpha \\ y = b \sin \alpha \end{matrix}\right.,</math> де <math> 0 \leqslant \alpha < 2 \pi.</math>

Параметр <math>\alpha</math> (в астрономії його називають {{нп|Ексцентрична аномалія|ексцентричною аномалією|en|eccentric anomaly}}) по суті ''не'' є кутом <math>(x(\alpha),y(\alpha))^T</math> утвореним із віссю ''x'' (як показано на діаграмі праворуч). Аби зрозуміти інтерпретацію параметру <math>\alpha</math> необхідно розглянути розділ про ''[[Еліпс#Методи креслення еліпсів|методи креслення еліпсів]]''.

=== Нормальне рівняння еліпса ===
: <math>\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1</math>

== Визначення еліпса на основі властивості директриси ==
[[Файл:Ellipse-ll-e.svg|300px|thumb|Еліпс: властивість директриси]]
Дві прямі на відстані <math>d = \frac{a^2}c</math> і паралельні малій осі еліпса називаються '''директрисами''' еліпса (див. малюнок).
* Для довільної точки <math>P</math>, що лежить на еліпсі коефіцієнт відстані до одного з фокусів і до відповідної директриси (як на малюнку) дорівнює значенню ексцентриситету:
:: <math>\frac{|PF_1|}{|Pl_1|} = \frac{|PF_2|}{|Pl_2|} = e= \frac{c}{a}\ .</math>
Доведення для пари <math>F_1, l_1</math> випливає із твердження, що <math>|PF_1|^2=(x-c)^2+y^2,\ |Pl_1|^2=(x-\tfrac{a^2}{c})^2</math> і <math>y^2=\tfrac{b^2}{a^2}x^2-b^2</math> задовольняють наступному рівнянню
: <math>|PF_1|^2-\frac{c^2}{a^2}|Pl_1|^2=0\ .</math>
Аналогічним чином доводиться і другий випадок.

''Обернене твердження'' є також вірним і його можна застосовувати для визначення еліпса (у спосіб аналогічний визначенню параболи):
* Для будь-якої точки <math>F</math> (що є фокусом), будь-якої прямої <math>l</math> (директриса), що не проходить через точку <math>F</math> і будь-якого дійсного числа <math>e</math> такого що <math>0<e < 1</math> набір точок (геометричне місце точок), для яких коефіцієнтом відстані до точки і до прямої дорівнює <math>e</math>
:: <math>E = \{P \mid  \frac{|PF|}{|Pl|} = e\} </math>
: є еліпсом.
Вибір <math>e=0</math>, що є значенням ексцентриситету кола, в даному контексті не дозволяється. Можна вважати, що директрисою кола є пряма на нескінченності.

(Вибір значення <math>e = 1</math> приводить до утворення [[парабола|параболи]], а якщо <math>e > 1</math>, то [[Гіпербола (математика)|гіперболи]].)

[[Файл:Kegelschnitt-schar-ev.svg|thumb|[[Пучок (геометрія)|Пучок кривих]] конічних перетинів із спільною вершиною і спільною хордою, що проходить крізь фокус]]

;Доведення: Нехай <math>F=(f,0) ,\ e >0</math> і припустимо, що <math>(0,0)</math> є точкою кривої.
Директриса <math>l</math> задана рівнянням <math>x=-\tfrac{f}{e}</math>. Якщо <math>P=(x,y)</math>, рівняння <math>|PF|^2=e^2|Pl|^2</math> утворює наступні рівняння
: <math>(x-f)^2+y^2=e^2(x+\tfrac{f}{e})^2=(e x+f)^2</math> і <math>x^2(e^2-1)+2xf(1+e)-y^2=0.</math>
Після заміни <math>p=f(1+e)</math> отримаємо
* <math>x^2(e^2-1)+2px-y^2=0.</math>
Це є рівняння ''еліпса'' (<math>e<1</math>) або ''параболи'' (<math>e=1</math>) або ''гіперболи'' (<math>e>1</math>). Всі ці невироджені конічні перетини мають спільний початок у вершині (див. малюнок).

Якщо <math>e<1</math>, введемо нові параметри <math>a, b</math> такі, що <math>1-e^2 = \tfrac{b^2}{a^2}</math>, та <math>p = \tfrac{b^2}{a}</math>, тоді вищезгадане рівняння стає
: <math>\tfrac{(x-a)^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1\ ,</math>
що є рівнянням еліпса із центром <math>(a,0)</math>, а вісь ''x'' є великою віссю, а довжини великої і малої півосей дорівнюють <math>a, b</math>.

;Загальний випадок: Якщо фокусом є <math>F=(f_1,f_2)</math>, а директрисою є <math>ux+vy+w=0 </math> отримаємо наступне рівняння:
: <math>\left(x-f_1\right)^2+\left(y-f_2\right)^2 = e^2\cdot\frac{( ux + vy  +w )^2}{u^2 + v^2} </math>

(У правій частині рівняння використана {{нп|нормальна форма Гессе||en|Hesse normal form}} для прямої, щоб розрахувати відстань <math>|Pl|</math>.)

== Нормаль є бісектрисою кута між прямими до точок фокусів ==
[[Файл:Ellipse-reflex.svg|250px|thumb|Еліпс: дотична до точки і нормаль, яка ділить навпіл кут між лініями до точок фокусів]]
[[Файл:Elli-norm-tang-n.svg|250px|thumb|промені із одного фокуса проходять через інший фокус]]
Для еліпса правдивим є наступне твердження:
* Нормаль, що проходить через точку <math>P</math> є бісектрисою кута між прямими <math>\overline{PF_1}, \overline{PF_2}</math>.
;Доведення: Оскільки дотична є перпендикуляром до нормалі, твердження буде також вірним щодо дотичної і додаткових кутів до прямих, що проходять крізь фокуси (see diagram), too.

Нехай <math>L</math> є точкою на прямій <math>\overline{PF_2}</math>, відстань від якої до фокусу <math>F_2</math> дорівнює <math>2a</math>, <math>a</math> є великою пів віссю еліпса. Пряма <math>w</math> є бісектрисою кута між прямими <math>\overline{PF_1}, \overline{PF_2}</math>. Для того, щоб довести що <math>w</math> є дотичною прямою в точці <math>P</math>, перевіримо, що будь-яка точка <math>Q</math> на прямій <math>w</math>, що є відмінною від точки <math>P</math> не може знаходитися на еліпсі. Оскільки <math>w</math> має одну єдину точку <math>P</math> яка є спільною із еліпсом і є, таким чином, дотичною у точці <math>P</math>.

Із наведеного малюнку і [[Нерівність трикутника|нерівності трикутника]] можна встановити, що <math>2a=|LF_2|<|QF_2|+|QL|=|QF_2|+|QF_1|</math> є вірним, що означає: <math>|QF_2|+|QF_1|>2a</math>. Але якщо <math>Q</math> є точкою еліпса, сума повинна бути рівною <math>2a</math>.
;Застосування: Промені, що проходять через один із фокусів відбиваються від кривої еліпса, так що вони проходять через другий фокус. Ця властивість має своє застосування у оптиці і акустиці, аналогічно як і аналогічна властивість відбивання променів у параболи (див. {{нп|шепочуща галерея||en|Whispering gallery}}).

== Спряжені діаметри і середні точки паралельних хорд ==
[[Файл:Parallelproj-kreis-ellipse.svg|400px|thumb|Ортогональні діаметри кола із квадратом, що утворений дотичними і показані середні точки паралельних хорд. Праворуч від кола афінне перетворення, що в результаті є еліпсом із спряженими діаметрами, паралелограмом із дотичних і середні точки хорд]]
Для кола вірною є наступна властивість:
: '''(M)''' середні точки паралельних хорд знаходяться на діаметрі.
Діаметр і паралельні хорди є ортогональними. У загальному випадку афінне перетворення не зберігає ортогональність, але воно зберігає паралельність і середні точки лінійних відрізків. Звідси: властивість '''(M)''' (в якій пропущено термін ''ортогональність'') є вірним для еліпса.
;Визначення: Два діаметри <math>d_1 ,\; d_2</math> еліпса є '''спряженими''' якщо середні точки хорд, які є паралельними до <math>d_1</math> лежать на <math>d_2\ .</math>

Із наведеної діаграми бачимо:
: '''(T)''' Два діаметри <math>d_1: \overline{P_1Q_1} \; ,\;d_2: \overline{P_2Q_2}</math>, еліпса є ''спряженими'', якщо дотичні в точках <math> P_1</math> і <math> Q_1 </math> є паралельними до <math>d_2</math> і навпаки.

Термін ''спряжені діаметри'' є свого роду узагальненням ''ортогональності''.

Розглянемо [[параметричне рівняння]]:
: <math>\vec x=\vec p(t) = \vec f_0 +\vec f_1 \cos t +\vec f_2 \sin t</math>
еліпса, будь-яка пара <math>\vec p(t),\vec p(t+\pi)</math> точок належить діаметру, а пара <math>\vec p(t+\pi/2),\vec p(t-\pi/2)</math> належить спряженому діаметру.

== Метричні властивості ==
Всі метричні властивості описані нижче мають відношення до еліпса, що описується рівнянням <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1 </math>.

=== Площа ===
[[Площа]] <math>A_\text{ellipse}</math>, що оточена еліпсом дорівнює:

* <math>A_\text{ellipse} = \pi ab</math>

де <math>a</math> а <math>b</math> де довжини великої півосі і малої півосі, відповідно. Формула площі <math>\pi a b</math> є інтуїтивно зрозумілою: почнемо із кола радіусом <math>b</math> (його площа становить <math>\pi b^2</math>) і розтягнемо його із величиною співвідношення <math>a/b</math> так, щоб утворити еліпс. Таке розтягування масштабує площу із тим самим співвідношенням: <math>\pi b^2(a/b) = \pi a b.</math> Формулу площі еліпса легко довести використавши наступне [[Інтеграл|інтегрування]]. Рівняння ({{EquationNote|1}}) можна переписати наступним чином <math>y(x)= b \sqrt{1 - x^2/a^2}.</math> Для <math>x\in[-a,a],</math> ця крива є верхньою половиною еліпса. Тому інтеграл <math>y(x)</math> по інтервалу <math>[-a,a]</math> помножений на два буде дорівнювати площі еліпса:

: <math>\begin{align}
A_\text{ellipse} &= \int_{-a}^a 2b\sqrt{1-x^2/a^2}\,dx\\
 &= \frac ba \int_{-a}^a 2\sqrt{a^2-x^2}\,dx.
\end{align}
</math>
Другий інтеграл є площею кола із радіусом <math>a,</math> що дорівнює, <math>\pi a^2.</math> Тому

: <math>A_\text{ellipse} = \frac{b}{a}\pi a^2 = \pi ab.</math>
Довільно визначений еліпс, за допомогою рівняння <math>Ax^2+ Bxy + Cy^2 = 1 </math> матиме площу <math>2\pi / \sqrt{4AC - B^2}.</math>

=== Довжина дуги еліпса ===
Довжина дуги еліпса обчислюється за формулою:
: <math>l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right) ^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \,dt.</math>

Використавши параметричний запис рівняння еліпса, отримуємо наступний вираз:
: <math>l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}\,dt.</math>

Після заміни <math>b^2 = a^2 \left(1 - e^2 \right)</math> вираз довжини дуги приймає остаточний вигляд:
: <math>l = a \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt,\;\;\; e < 1.</math>

Отриманий інтеграл належить до родини [[Еліптичні інтеграли|еліптичних інтегралів]], які не виражаються у елементарних функціях, і зводиться до еліптичного інтегралу другого роду <math>E \left(t,e \right)</math>. Зокрема, периметр еліпса дорівнює:
: <math>l = 4a \int \limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt = 4aE(e)</math>,
де <math>E \left(e \right)</math>&nbsp;— повний еліптичний інтеграл Лежандра другого роду.

==== Наближені формули периметра ====
YNOT: <math>L=4 \cdot \left(a^x+b^x\right)^\left(1/x\right)</math>, де <math>x=\frac{ln2}{ln(\frac{\pi}{2})}</math>.
Максимальна похибка цієї формули становить близько 0,3619&nbsp;% при ексцентриситеті еліпса близько 0,979811 (відношення осей ~1/5). Похибка завжди додатна.

Дуже наближена формула:
<math>L = \pi \cdot  \left( a + b \right)</math>

== Дотична ==
Рівняння [[дотична|дотичної]] до еліпса через точку <math>\left. M_0 \right.</math>(x<sub>0</sub>;y<sub>0</sub>), яка належить еліпсу
: <math>\frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = 1</math>

== Методи креслення еліпсів ==
[[Файл:Zp-turm-tor.svg|thumb|Центральна проекція кіл (ворота)]]
Еліпси логічним чином виникають у [[Нарисна геометрія|нарисній геометрії]] як зображення (у паралельній чи центральній проекції) кола. Тому дуже важливим є створення методів малювання еліпсів. До появи комп'ютерів, основними засобами для креслення були циркуль та лінійка, що використовувалися для побудови точок еліпса. А також існують інструменти ([[еліпсограф]]и), які дозволяють малювати еліпси аналогічно, як циркулем малюють круги. Принцип роботи еліпсографа був відомий ще за часів давньогрецьких математиків ([[Архімед]]а, [[Прокл Діадох|Прокла]]).

Якщо еліпсографа нема, найкращий і найшвидший спосіб — це намалювати еліпс з допомогою [[Еліпс#Наближення за допомогою кіл|наближення за допомогою чотирьох кіл у вершинах еліпса]].

Для використання будь-якого з наведених далі методів необхідно знати велику і малу осі еліпса (або: фокуси і велику піввісь). У випадку, якщо ця вимога не виконується, необхідно знати принаймні два його спряжені діаметри. Тоді за допомогою метода {{нп|Метод побудови Рітца|побудови Рітца|en|Rytz's construction}} можна знайти велику і малу осі.

=== Метод із канцелярськими кнопками і ниткою ===
[[Файл:Elliko-g.svg|250px|thumb|Еліпс: Метод з ниткою і кнопками, або садовий метод]]

За визначенням еліпс є геометричним місцем точок для якого сума відстаней до фокусів є сталою. Це приводить до методу малювання із використанням двох [[Канцелярська кнопка|канцелярських кнопок]], нитки деякої довжини і олівця. За цим методом, кнопки закріплюються в двох точках, які є фокусами еліпса. Обидва кінці нитки закріплюються за допомогою цих двох кнопок кожний, а кінчик олівця відтягує нитку, так щоб утворився трикутник. Кінчик олівця буде окреслювати еліпс, якщо малювати фігуру так, щоб нитка була завжди натягнутою. Використовуючи цю техніку в саду, за допомогою кілків і мотузки, садівники таким чином розмічають еліптичні клумби, тому такий метод створення еліпсів іноді називають садовим.

=== За допомогою смужки паперу ===
Два наступних методи покладаються на параметричне представлення еліпса:
: <math>(a\cos t,\;b\sin t)</math>
Це представлення можна змоделювати двома простими методами. В обох випадках необхідно знати велику і малу вісь <math> a,\; b</math>.
;Метод 1
Перший метод починається з:
* маємо смужку з паперу довжиною <math>a+b</math>.
Точка, що розділяє довжини півосей позначена як <math>P</math>. Якщо смужка буде рухатися обома кінцями по осям бажаного еліпса, тоді точка P буде окреслювати еліпс. Для доказу покажемо точку <math>P</math> у вигляді параметричного представлення <math>(a\cos t,\;b\sin t)</math>, де параметр <math> t </math> є кутом нахилу паперової смужки.

''Технічну реалізацію'' такого руху паперової смужки можна досягти за допомогою {{нп|пристрою Тусі||en|Tusi couple}} (див. анімацію). Цей пристрій дозволяє намалювати еліпс із фіксованою сумою <math>a+b</math>, що дорівнює радіусу більшого кола. Таке обмеження може бути недоліком для практичних задач. Більш гнучким є наступний метод.

Приклад: якщо хтось стоїть десь по середині сходів, які стоять на слизькій землі і опираються на слизьку стіну, така драбина почне ковзати вниз і ноги людини прослідують шляхом, що окреслює еліпс.

<gallery widths="250" heights="250" class='"float-left'>
Elliko-pap1.svg|Побудова еліпса: метод 1 (за допомогою смужки паперу)
Tusi couple vs Paper strip plus Ellipses horizontal.gif|Еліпс за допомогою пристрою Тусі. Два приклади: червоний та блакитний.
</gallery>

''Варіація методу 1 паперової смужки''<ref>J. van Mannen: ''Seventeenth century instruments for drawing conic sections.'' In: ''The Mathematical Gazette.'' Vol. 76, 1992, p. 222—230.</ref> використовує спостереження, що середня точка <math>N</math> паперової смужки рухається по колу із центром <math>M</math> (еліпса) і радіусом <math>\tfrac{a+b}{2}</math>. Отже, паперову стрічку можна розрізати в точці <math>N</math> на частини, що знову закріплюється з'єднанням в <math>N</math> а рухомий кінець <math>K</math> закріплюється в центрі <math>M</math> (див. діаграму). Після цієї операції, рух незміненої частини стрічки залишається незмінним. Перевагою цього варіанту є те, що необхідно мати лише один ковзаючий елемент.

<gallery widths="300" heights="200" class='"float-left'>
Ellipse-papsm-1a.svg|Варіація методу 1 (із паперовою смужкою)
Ellipses with SliderCrank inner Ellipses.gif|Анімація варіації методу 1 (із паперовою смужкою)
</gallery>

[[Файл:Elliko-pap2.svg|250px|thumb|Побудова еліпса: метод 2 (за допомогою смужки паперу)]]
; Метод 2:
Другий метод починається з:
* смужки паперу довжиною <math>a</math>.
Відмітимо точку, яка поділяє смужку на дві смужки, що мають довжини <math>b</math> і <math>a-b</math>. Смужку розміщують на осі як показано на малюнку. Якщо смужку рухати, Тоді вільний кінець смужки буде окреслювати еліпс. Аби довести це, аналогічно можна описати точки, по яким рухається стрічка параметричним способом <math>(a\cos t,\;b\sin t)</math>, де параметр <math>t</math> є кутом нахилу паперової смужки.

Цей метод лягає в основі декількох ''еліпсографів''.

''Примітка: '' Аналогічно до варіації із методом 1, інший варіант для другого методу із паперовою стрічкою можна отримати, якщо розрізати частину між двома осями на дві половини (див. діаграму).
<gallery widths="200" heights="150" class='"float-left'>
File:Archimedes Trammel.gif|[[Еліпсограф|Еліпсограф архімеда]] (принцип)
File:L-Ellipsenzirkel.png|Еліпсограф {{нп|Бенджамін Брамер|Бенджаміна Брамера|en|Benjamin Bramer}}
File:Ellipses with SliderCrank Ellipses at Slider Side.gif|Варіант методу 2 (із паперовою смужкою)
</gallery>

=== Наближення за допомогою кіл ===
[[Файл:Elliko-skm.svg|250px|thumb|Наближене креслення еліпса за допомогою кіл]]
Із метричних властивостей еліпса відомо, що:
* Радіус кола у вершинах <math>V_1,V_2</math> еліпса дорівнює: <math>\tfrac{b^2}{a}\ ,</math>
: радіус кола у двох інших вершинах <math>V_3,V_4</math> становить: <math>\tfrac{a^2}{b}\ .</math>
На малюнку показано простий спосіб знаходження центрів <math>C_1=(a-\tfrac{b^2}{a},0),\; C_3=(0,b-\tfrac{a^2}{b})</math> кола у вершинах <math>V_1</math> і <math>V_3</math>, відповідно:
: (1) відмітимо допоміжну точку <math>H=(a,b)</math> і намалюємо відрізок <math>V_1V_3\ ,</math>
: (2) намалюємо пряму через <math>H</math>, що є перпендикуляром до прямої <math>V_1V_2\ ,</math>
: (3) точки перетину цієї прямої із віссю є центрами дотичних до еліпса кіл.

Центри для решти вершин можна знайти за допомогою симетрії.

Далі за допомогою [[Лекало|лекала]] можна намалювати криву, яка плавно сполучаться із цими дотичними колами.

=== Генерація еліпса методом Штейнера ===
[[Файл:Ellipse-steiner-e.svg|250px|thumb|Еліпс: метод Штейнера]]
[[Файл:Ellipse construction - parallelogram method.gif|200px|thumb|Еліпс: метод Штейнера]]
Наступний метод описує спосіб побудови окремих точок еліпса на основі {{нп|Генерація конічних перетинів методом Штейнера|генерації не вироджених конічних перетинів методом Штейнера|en|Steiner conic}}:
* Маємо два [[Пучок (геометрія)|пучки]] <math>B(U),B(V)</math> прямих ліній, що виходять із двох точок <math>U,V</math> (усі ці лінії містять <math>U</math> або <math>V</math>, відповідно) і проективне, але не перспективне відображення <math>\pi</math> пучка <math>B(U)</math> у <math>B(V)</math>, тоді точки перетину відповідних прямих утворюють не вироджений конічний перетин.

Для генерації точок еліпса <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1</math> застосовують пучки, які виходять із вершин <math>V_1,V_2</math>. Нехай <math>P=(0,b)</math> є верхньою вершиною на малій осі еліпса і <math>A=(-a,2b), B=(a,2b)</math>.
<math>P</math> є центром прямокутника <math>V_1,V_2,B,A</math>. Сторону <math>\overline{AB}</math> прямокутника поділено на однакові прямі відрізки і цей поділ проектується паралельно за допомогою діагоналі <math>AV_2</math> на лінійний відрізок <math>\overline{V_1B}</math>, як це показано на малюнку. Паралельне проектування і обернення орієнтації є частиною необхідного проективного відображення між пучками в <math>V_1</math> і <math>V_2</math>. Точка перетину будь-яких відповідних прямих <math>V_1B_i</math> і <math>V_2A_i</math> є точками, які однозначно задають еліпс. За допомогою цих точок <math>C_1,\dotsc</math> можна визначити точки другої чверті еліпса. Аналогічно можна отримати точки нижньої половини еліпса.

''Примітки:''
# Генерація методом Штейнера існує також і для гіпербол і парабол.
# Генерація Штейнера іноді називається ''методом паралелограма'' оскільки можна використати інші точки, а не вершити, які починаються з паралелограма, а не прямокутника.

== Застосування ==

=== Фізика ===
==== Еліптичні рефлектори і акустика ====
{{See also|Зона Френеля}}
Якщо в еліптичному резервуарі з водою поверхню води порушити в одному із його фокусів, кругові хвилі що утворяться, після [[Відбиття (фізика)|відбиття]] від стінок, будуть збігатися одночасно в одну точку: ''другий фокус''. Це є наслідком того, що загальна довжина будь-якого пройденого шляху між двома фокусами буде однаковою при відбитті від стінок.

Так само, якщо джерело світла розміщене в одному із фокусів еліптичного [[Дзеркало|дзеркала]], всі промені світла, що потрапляють на лощину еліпса відбиваються в точку другого фокуса. Оскільки жодна з гладких кривих не має такої властивості, її можна використовувати як альтернативне визначення еліпса. (Особливим випадком є коло, для якого усі промені із джерелом у центрі кола будуть відбиватися назад у центр кола.) Якщо еліпс обертати довкола його головної осі, що дозволяє отримати [[еліпсоїд]]альне дзеркало (зокрема, [[Сфероїди|еліпсоїд обертання]]), ця властивість зберігається для всіх променів, що надходять з джерела. Як альтернативу, можна використати циліндричне дзеркало із еліптичним поперечним перерізом для того, щоб сфокусувати світло від прямої [[Люмінесцентна лампа|люмінесцентної лампи]] здовж прямої лінії на папері; такі дзеркала використовуються в деяких [[Сканер|сканерах документів]].

Звукові хвилі відбиваються аналогічним чином, тому у великій еліптичній кімнаті одна людина, знаходячись в одному із фокусів зможе надзвичайно добре чути іншу людину, що знаходиться в іншому фокусі. Цей ефект навіть більш відчутний під [[Баня (архітектура)|дахом із куполом]], що має в основі форми має частину витягнутого сфероїда. Такі кімнати називають ''{{нп|Шепочуща галерея|шепочущими галереями|en|whisper chamber}}''. Той самий ефект можна продемонструвати розмістивши на відповідній відстані два рефлектори, що мають форму кінців такого сфероїду. Прикладами таких споруджень є зал із скульптурами у [[Капітолій (Вашингтон)|Вашингтонському Капітолії]] (в якому, як кажуть, [[Джон Квінсі Адамс]] використовував цю властивість для підслуховування політичних розмов).

==== Планетарні орбіти ====
{{Main article|Еліптична орбіта}}

В 17-му столітті, [[Йоганн Кеплер]] відкрив, що орбіти по яким рухаються планети довкола Сонця є еліпсами, і Сонце знаходиться приблизно в одному із фокусів еліпса. Це відкриття називається [[Закони Кеплера#Перший закон Кеплера|першим законом планетарного руху]]. Згодом, [[Ісаак Ньютон]] пояснив це як наслідок свого [[Закон всесвітнього тяжіння|закону всесвітнього тяжіння]].

У загальному випадку, в рамках гравітаційної [[Задача двох тіл|задачі двох тіл]], якщо два тіла зв'язані одне з одним (так що, їх загальна енергія є негативною), їхніми орбітами будуть [[Подібність (геометрія)|подібні]] еліпси із спільним барицентром, що буде знаходитися в одному їх фокусів кожного еліпса. Інші фокуси двох еліпсів не мають відомого фізичного значення. Цікаво, орбіта одного тіла в системі відліку другого тіла також буде еліпсом, де друге тіло знаходиться в тому ж фокусі.

Кеплерові еліптичні орбіти є результатом радіально спрямованої сили тяжіння, сила якої буде зворотньопропорційна квадрату відстані. Таким чином, в теорії, рух двох заряджених частинок у вільному просторі також буде здійснюватися по еліпсу. (Однак, таке припущення не бере до уваги втрати енергії через [[Електромагнітне випромінювання|електромагнітного випромінення]] і [[Квантова механіка|квантових ефектів]], що стають важливими при русі частинок на великій швидкості.)

Для [[Еліптична орбіта|еліптичних орбіт]], корисними рівняннями, що пов'язані із ексцентриситетом <math>e</math> є:

: <math>\begin{align}e &= \frac{r_{a}-r_{p}}{r_{a}+r_{p}}=\frac{r_{a}-r_{p}}{2a}\\
r_{a} &= (1+e)a\\
r_{p} &= (1-e)a\end{align}</math>

де
* <math>r_{a}</math> є радіусом в [[Апсиди|апоцентрі]] (найбільша відстань)
* <math>r_{p}</math> є радіусом в [[Апсиди|перицентрі]] (найменша відстань)
* <math>a</math> це довжина [[Велика піввісь|великої півосі]]

Також, в термінах of <math>r_{a}</math> і <math>r_{p}</math>, велика піввісь <math>a</math> буде їхнім [[Середнє арифметичне|арифметичним середнім]], мала піввісь <math>b</math> буде їхнім [[Середнє геометричне|геометричним середнім]], а [[Конічні перетини|половина хорди фокусу еліпса]] <math>l</math> дорівнює їх [[Середнє гармонійне|гармонійному середньому]]. Іншими словами,

: <math>\begin{align}a &= \frac{r_{a}+r_{p}}{2}\\
b &= \sqrt{r_{a}\cdot r_{p}}\\
l &= \frac{2}{\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{p}}}=\frac{2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}\end{align}</math>.

==== Візуалізація фази сигналів ====
В [[електроніка|електроніці]], відносну фазу двох синусоїдних сигналів можна порівняти, якщо подати ці сигнали на вертикальний і горизонтальний входи [[Осцилограф]]а. Якщо на дисплеї буде видно еліпс, а не пряма лінія, два сигнали не в одній фазі.

==== Еліптичні коліщата ====
Два {{нп|Не круглі зубчаті колеса|не круглих зубчатих колеса|en|non-circular gear}} із однаковим еліптичним контуром, кожне з яких обертається довкола фокусу і розміщені під певним кутом, обертатимуться плавно зберігаючи контакт одне з одним. Альтернативним чином, вони можуть бути з'єднані [[ланцюг]]ом або {{нп|зубчастий ремінь||en|Toothed belt}}, а у велосипеді основна [[Система ведучих зірок|ведуча зірка]] може мати еліптичну форму, або форму [[овал]]у подібного до еліпса. Такі еліптичні коліщата застосовують у механіці для того, щоб створити змінну [[Кутова швидкість|кутову швидкість]] або [[момент сили]] при сталому обертанні привідної осі, або у випадку з велосипедом для того, щоб створити різну швидкість обертання кривошипа при оберненій зміні {{нп|Механічна перевага|механічної переваги|en|mechanical advantage}}.

Еліптичні велосипедні шестерні полегшують рух ланцюга, коли його необхідно зняти при переключені передач.<ref>David Drew.
«Elliptical Gears».
[http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.2003.fall/Drew/Emat6890/Elliptical%20Gears.htm]
</ref>

Прикладом застосування такого механізму може бути пристрій, який намотує нитку на конічну [[Котушка (тара)|котушку]] у [[Прядіння|прядильній]] машині. Котушку необхідно обертати швидше, коли нитка знаходиться біля вершини ніж, коли вона біля розширеної основи.<ref>{{cite book |first=George B. |last=Grant |title=A treatise on gear wheels |url=https://books.google.com/books?id=fPoOAAAAYAAJ&pg=PA72 |year=1906 |publisher=Philadelphia Gear Works |page=72}}</ref>

==== Оптика ====
У оптично [[Анізотропія|анізотропному]] матеріалі ([[Подвійне променезаломлення|подвійне заломлення світла]]), [[показник заломлення]] залежить від напрямку падіння світла. Цю залежність можна описати за допомогою {{нп|індексний еліпсоїд|індексного еліпсоїда|en|index ellipsoid}}. Якщо матеріал є оптично [[Ізотропія|ізотропним]], цей еліпсоїд стає сферою.

=== Комп'ютерна графіка ===
Функціонал малювання еліпса як [[Геометричний примітив|графічного примітиву]] є загальним у стандартних графічних бібліотеках, таких як [[QuickDraw]] API, і [[Direct2D]] в системі Windows. Джек Брезенхем із IBM є найбільш відомим за винайдення двовимірних графічних примітивів, включаючи лінію і коло, із використанням лише швидких операцій над цілими числами, такі як додавання та ін. Піттевей розширив алгоритми Брезенхема від ліній до конічних кривих в 1967.<ref>{{cite journal |author=Pitteway, M.L.V. |title=Algorithm for drawing ellipses or hyperbolae with a digital plotter |journal=The Computer Journal |volume=10 |issue=3 |pages=282–9 |year=1967 |doi=10.1093/comjnl/10.3.282 |url=http://comjnl.oxfordjournals.org/content/10/3/282.abstract}}</ref> Інше ефективне узагальнення в зображенні еліпсів було винайдено в 1984 Джеррі Ван Акеном.<ref>{{cite journal |author=Van Aken, J.R. |title=An Efficient Ellipse-Drawing Algorithm |journal=IEEE Computer Graphics and Applications |volume=4 |issue=9 |pages=24–35 |date=September 1984 |doi=10.1109/MCG.1984.275994 }}</ref>

Денні Коен в 1970&nbsp;р. на конференції «Комп'ютерна графіка 1970» в Англії представив лінійний алгоритм для малювання еліпсів і кіл. В 1971, Л.&nbsp;Б.&nbsp;Сміт опублікував подібні алгоритми для всіх конічних перетинів і довів, що він має хороші властивості.<ref>{{cite journal |author=Smith, L.B. |title=Drawing ellipses, hyperbolae or parabolae with a fixed number of points |journal=The Computer Journal |volume=14 |issue=1 |pages=81–86 |year=1971 |doi=10.1093/comjnl/14.1.81 |url=http://comjnl.oxfordjournals.org/content/14/1/81.short}}</ref> Ці алгоритми потребують лише декілька множень і додавань для розрахунку кожного з векторів.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Еліпсограф]]
* [[Коло]]
* [[Гіпербола (математика)]]
* [[Парабола]]
* [[Еліпс похибок]]

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Література ==
* Золотий логарифм і його застосування. Еліпс і рівняння його довжини / Є.&nbsp;П.&nbsp;Устянич.&nbsp;— Л. : Каменяр, 2011.&nbsp;— 76 с. : іл.&nbsp;— (Математичні новинки).&nbsp;— Бібліогр.: с. 73-74 (27 назв).&nbsp;— ISBN 978-966-607-177-7
== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53397/10866.html Еліпс]}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Еліпс|сторінки=109-110}}
{{Криві}}
{{ВП-портали|Математика}}
{{Math-stub}}
{{Мало джерел|дата=березень 2018}}

[[Категорія:Конічні перетини]]