Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз

де й - будь які функції узагальнених координат та узагальнених імпульсів , - кількість ступенів свободи системи.


Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.

Властивості

Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:

 
 
 
 
 тотожність Якобі

Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно канонічних перетворень - тобто відносно переходу до нового набору канонічних змінних  

 

Якщо одна з функцій співпадає з узагальненим імпульсом або координатою, тоді отримаємо:

 
 

Якщо замінити і другу фунцію

 
 

Останні три тотожності - умова канонічності набору змінних  

Кожен інтеграл руху   повинен задовільняти рівнянню

 .


У випадку, коли   не залежить від часу явно,

 

Зокрема, з огляду на теорему Ліувіля густина станів у фазовому просторі   повинна задовільняти рівнянню Ліувіля

 .

Дивись також

Джерела

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.