Дужки Пуассона: відмінності між версіями

[неперевірена версія][перевірена версія]
мНемає опису редагування
м (додано Категорія:Білінійні оператори за допомогою HotCat)
 
(Не показані 19 проміжних версій 15 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
'''Дужками Пуассона''' в класичній механіці називається вираз
'''Дужками Пуассона''' в класичній механіці називається вираз
:<math> \{\varphi, g\} = \sum_i^N
: <math> \{\varphi, g\} = \sum_{i=1}^N
\left( \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i}
\left( \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i}
- \frac{\partial \varphi}{\partial q_i}\frac{\partial g} {\partial p_i}
- \frac{\partial \varphi}{\partial q_i}\frac{\partial g} {\partial p_i}
\right),
\right),
</math>
</math>


де <math> \varphi </math> й <math> g </math> - будь які функції
де <math> \varphi </math> й <math> g </math>&nbsp;— будь-які функції
узагальнених координат <math> q_i </math> та узагальнених імпульсів
узагальнених координат <math> q_i </math> та узагальнених імпульсів
<math> p_i </math>,
<math> p_i </math>,
<math> N </math> - кількість ступенів свободи системи.
<math> N </math>&nbsp;— кількість ступенів свободи системи.




Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового [[комутатор]]а.
Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового [[Комутатор (математика)|комутатора]].


==Властивості==
== Властивості ==
Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:
Кожен [[інтеграл руху]] <math> \psi </math> повинен задовільняти рівнянню


:<math> \frac{\partial \psi}{\partial t} +
: <math>\{f,g \} = - \{g,f \} </math>

: <math>\{\alpha f + \beta g, h\} = \alpha \{f,h \} + \beta \{ g,h\} </math>

: <math>\frac{\partial}{\partial t}\{f,g \} = \{\frac{\partial f}{\partial t},g \} + \{f, \frac{\partial g}{\partial t}\} </math>

: <math>\{fg,h \} = \{f,h \} g + f \{g,h \}</math>

: <math>\{f, \{g,h \} \} + \{g, \{h,f \} \} + \{h, \{f,g \} \}= 0 </math>&nbsp;— [[тотожність Якобі]] <br/>

Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно [[канонічні перетворення|канонічних перетворень]]&nbsp;— тобто відносно переходу до нового набору [[канонічні змінні|канонічних змінних]] <math>Q_1,...,P_N</math>

: <math> \{\varphi, g\} = \sum_i^N
\left( \frac{\partial \varphi}{\partial P_i} \frac{\partial g}{\partial Q_i}
- \frac{\partial \varphi}{\partial Q_i}\frac{\partial g} {\partial P_i}
\right),
</math>

Якщо одна з функцій збігається з узагальненим [[узагальнені імпульси|імпульсом]] або [[узагальнені координати|координатою]], тоді отримаємо:

: <math>\{f,q_i \} = \frac{\partial f}{\partial p_i}</math>

: <math>\{p_i ,g \} = \frac{\partial g}{\partial q_i}</math>

Якщо замінити і другу фунцію

: <math>\{q_j,q_i \} = \{p_j,p_i \} = 0 </math>

: <math>\{p_j,q_i \} = \delta_{ji} </math>

Останні три тотожності&nbsp;— умова канонічності набору змінних <math>q_1,...,p_N</math>

Кожен [[інтеграл руху]] <math> \psi </math> повинен задовільняти рівнянню

: <math> \frac{\partial \psi}{\partial t} +
\{ \psi , H \} = 0 </math>.
\{ \psi , H \} = 0 </math>.


Рядок 23: Рядок 57:
У випадку, коли <math> \psi </math> не залежить від часу явно,
У випадку, коли <math> \psi </math> не залежить від часу явно,


:<math> \{ H, \psi \} = 0 </math>
: <math> \{ H, \psi \} = 0 </math>
Зокрема, з огляду на [[теорема Ліувіля|теорему Ліувіля]] густина станів у [[фазовий простір|фазовому просторі]] <math> \rho </math>
Зокрема, з огляду на [[Теорема про збереження фазового об'єму|теорему Ліувілля]] густина станів у [[фазовий простір|фазовому просторі]] <math> \rho </math>
повинна задовільняти '''рівнянню Ліувіля'''
повинна задовільняти [[Рівняння Ліувілля|рівнянню Ліувілля]]
:<math> \frac{\partial \rho}{\partial t} +
: <math> \frac{\partial \rho}{\partial t} +
\{ \rho , H \} = 0 </math>.
\{ \rho , H \} = 0 </math>.


==Дивись також==
== Див. також ==
* [[Механіка Гамільтона]]
* [[Механіка Гамільтона]]
* [[Інтеграл руху]]
* [[Інтеграл руху]]
* [[Дужки Лагранжа]]


==Джерела==
== Джерела ==
* {{cite book
* {{книга
|автор = Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В.
|автор=Федорченко А.М.
|назва=Теоретична механіка
|заголовок = Класична механіка
|рік = 2008
|дата=
|видавництво = ВПЦ "Київський університет"
|рік=1975
|місто = {{Comment|К.|Київ}}
|видавництво=Вища школа
|сторінок = 480
|знаходження=Київ}}, 516 с.
}}
* {{книга
|автор = [[Федорченко Адольф Михайлович|Федорченко А. М.]]
|заголовок = Теоретична механіка
|рік = 1975
|видавництво = Вища школа
|місто = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок = 516
}}


[[Категорія:Класична механіка]]
[[Категорія:Класична механіка]]
[[Категорія:Симплектична геометрія]]

[[Категорія:Механіка Гамільтона]]
[[bg:Скобки на Поасон]]
[[Категорія:Білінійні оператори]]
[[cs:Poissonova závorka]]
[[de:Poisson-Klammer]]
[[en:Poisson bracket]]
[[es:Corchete de Poisson]]
[[fa:کروشه پواسون]]
[[fr:Crochet de Poisson]]
[[it:Parentesi di Poisson]]
[[ko:푸아송 괄호]]
[[pl:Nawias Poissona]]
[[pt:Colchete de Poisson]]
[[ru:Скобка Пуассона]]
[[zh:泊松括號]]

Поточна версія на 22:54, 16 листопада 2021

Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз

де й  — будь-які функції узагальнених координат та узагальнених імпульсів ,  — кількість ступенів свободи системи.


Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.

ВластивостіРедагувати

Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:

 
 
 
 
  — тотожність Якобі

Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно канонічних перетворень — тобто відносно переходу до нового набору канонічних змінних  

 

Якщо одна з функцій збігається з узагальненим імпульсом або координатою, тоді отримаємо:

 
 

Якщо замінити і другу фунцію

 
 

Останні три тотожності — умова канонічності набору змінних  

Кожен інтеграл руху   повинен задовільняти рівнянню

 .


У випадку, коли   не залежить від часу явно,

 

Зокрема, з огляду на теорему Ліувілля густина станів у фазовому просторі   повинна задовільняти рівнянню Ліувілля

 .

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.