Відмінності між версіями «Доповнення множин»

[неперевірена версія][перевірена версія]
 
м
 
(Не показані 40 проміжних версій 28 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
  +
{{Теоретико-множинні операції}}
В [[теорія множин|теорії множин]] та інших галузях [[математика|математики]], одна з основних операцій на [[множина|множинах]]. Розрізняють '''доповнення''' (абсолютне доповнення) множин та '''різницю''' (відносне доповнення) множин. (Див. також [[Симетрична різниця множин]])
+
В [[теорія множин|теорії множин]] та інших галузях [[математика|математики]], одна з основних операцій на [[множина|множинах]].
   
==Різниця множин (відносне доповнення)==
+
Розрізняють '''доповнення множин''' (абсолютне доповнення) та '''різницю множин''' (відносне доповнення).
Якщо ''A'' та ''B'' - множини, то '''різницею''' між ''B'' та ''А'' (порядок множин важливий), або відносним доповненням ''A'' до ''B'', є множина з едементів ''B'', які не належать ''A''.
 
<div style="float:right;margin:1em;">[[Зображення:150px-Venn_B_minus_A.png|150px|center|B minus A]]<center><small>'''Відносне доповнення'''<br> ''A'' до ''B''</small></center></div>
 
   
  +
Відносне доповнення <i>A</i> до <i>B</i> позначається як ''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'' (також 'B''&nbsp;\&nbsp;''A'').
 
  +
  +
== Різниця множин (відносне доповнення) ==
 
Якщо ''A'' та ''B'' - множини, то '''різницею''' між ''B'' та ''А'' (порядок множин важливий), або відносним доповненням ''A'' до ''B'', є множина з елементів ''B'', які не належать ''A''. Різниця множин є [[бінарна операція|бінарною операцією]].
  +
  +
[[Файл:Venn0010.svg|200px|right|thumb|'''Відносне доповнення''' ''A'' до ''B'':<br /><math>B \setminus A~~~=~~~A^c \cap B</math>]]
  +
 
Відносне доповнення ''A'' до ''B'' позначається як ''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'' (також ''B''&nbsp;\&nbsp;''A'').
   
 
Формально:
 
Формально:
Рядок 11: Рядок 17:
   
 
Приклади:
 
Приклади:
:*{1,2,3}&nbsp;&minus;&nbsp;{2,3,4}&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;{1}
+
:* {1,2,3}&nbsp;&minus;&nbsp;{2,3,4}&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;{1}
:*{2,3,4}&nbsp;&minus;&nbsp;{1,2,3}&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;{4}
+
:* {2,3,4}&nbsp;&minus;&nbsp;{1,2,3}&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;{4}
:*Якщо <math>\mathbb{R}</math> - множина [[дійсне число|дійсних чисел]], і <math>\mathbb{Q}</math> - множина всіх [[раціональне число|раціональних чисел]] то <math> \mathbb{R}-\mathbb{Q}</math> є множиною [[ірраціональне число|ірраціональних чисел]].
+
:* Якщо <math>\mathbb{R}</math> - множина [[дійсне число|дійсних чисел]], і <math>\mathbb{Q}</math> - множина всіх [[раціональне число|раціональних чисел]] то <math> \mathbb{R}-\mathbb{Q}</math> є множиною [[ірраціональне число|ірраціональних чисел]].
   
 
Наступне твердження містить основні властивості операції різниці множин та її співвідношення з операціями [[об'єднання множин|об'єднання]] та [[перетин множин|перетину]] множин
 
Наступне твердження містить основні властивості операції різниці множин та її співвідношення з операціями [[об'єднання множин|об'єднання]] та [[перетин множин|перетину]] множин
   
'''ТВЕРДЖЕННЯ 1''': Якщо ''A'', ''B'', та ''C'' є множини, то справедливі наступні співвідношення::
+
'''ТВЕРДЖЕННЯ 1''': Якщо ''A'', ''B'', та ''C'' є множини, то справедливі такі співвідношення::
:*''C''&nbsp;&minus;&nbsp;(''A'' &cap;''B'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cup;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''B'')
+
:* ''C''&nbsp;&minus;&nbsp;(''A'' &cap;''B'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cup;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''B'')
:*''C''&nbsp;&minus;&nbsp;(''A'' &cup;''B'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cap;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''B'')
+
:* ''C''&nbsp;&minus;&nbsp;(''A'' &cup;''B'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cap;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''B'')
:*''C''&nbsp;&minus;&nbsp;(''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''A'' &cap;''C'') &cup;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''B'')
+
:* ''C''&nbsp;&minus;&nbsp;(''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''A'' &cap;''C'') &cup;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''B'')
:*(''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cap;''C''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''B'' &cap;''C'')&nbsp;&minus;&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''B'' &cap;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'')
+
:* (''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cap;''C''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''B'' &cap;''C'')&nbsp;&minus;&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''B'' &cap;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'')
:*(''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cup;''C''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''B'' &cup;''C'')&nbsp;&minus;&nbsp;(''A''&nbsp;&minus;&nbsp;''C'')
+
:* (''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cup;''C''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''B'' &cup;''C'')&nbsp;&minus;&nbsp;(''A''&nbsp;&minus;&nbsp;''C'')
:*''A''&nbsp;&minus;&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
+
:* ''A''&nbsp;&minus;&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
:*&Oslash;&nbsp;&minus;&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
+
:* &Oslash;&nbsp;&minus;&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
:*''A''&nbsp;&minus;&nbsp;&Oslash;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''
+
:* ''A''&nbsp;&minus;&nbsp;&Oslash;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''
 
==Абсолютне доповнення==
 
<div style="float:right;margin:1em;">[[Зображення:250px-Venn_A_complement_(2).PNG|150px|center|A complement]]<center><small>'''Доповнення''' ''A'' до '''U'''</small></center></div>
 
Для ''[[універсальна множина|універсальної множини]]'' '''U''', відносне доповнення деякої множини ''A'' до '''U''' називається '''абсолютним доповнення''' (або просто '''доповненням''') ''A'', і позначається як ''A''<sup>C</sup> або C<sub>''A''</sub>:
 
   
 
== Абсолютне доповнення ==
  +
[[Файл:Venn1010.svg|200px|right|thumb|'''Доповнення''' ''A'' до '''U'''<br /><math>A^c~~~=~~~U \setminus A</math>]]
 
Для [[універсальна множина|універсальної множини]] '''U''', відносне доповнення деякої множини ''A'' до '''U''' називається '''абсолютним доповненням''' (або просто '''доповненням''') ''A'', і позначається як ''A''<sup>C</sup> або C<sub>''A''</sub>:
 
:''A''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''&nbsp;&minus;&nbsp;''A''
 
:''A''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''&nbsp;&minus;&nbsp;''A''
   
Наступне твердження містить деякі основні властивості абсолютного доповнення та зв'язок цієї операції з операціями [[об'єднання множин|об'єднання]] та [[перетин множин|перетину]] множин
+
Наступне твердження містить деякі основні властивості абсолютного доповнення та зв'язок цієї операції з операціями [[об'єднання множин|об'єднання]] та [[перетин множин|перетину]] множин
  +
'''ТВЕРДЖЕННЯ 2''': Якщо ''A'' та ''B'' є [[підмножина|підмножини]] '''U''', то виконуються наступні співвідношення:
+
'''ТВЕРДЖЕННЯ 2''': Якщо ''A'' та ''B'' є [[підмножина|підмножини]] '''U''', то виконуються такі співвідношення:
:[[правила ДеМоргана]]:
+
:[[правила де Моргана]]:
::*(''A'' &cup;''B'')<sup>C</sup> &nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''<sup>C</sup> &cap;''B''<sup>C</sup>
 
::*(''A'' &cap;''B'')<sup>C</sup> &nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''<sup>C</sup> &cup;''B''<sup>C</sup>
+
::* (''A'' &cup;''B'')<sup>C</sup> &nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''<sup>C</sup> &cap;''B''<sup>C</sup>
 
::* (''A'' &cap;''B'')<sup>C</sup> &nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''<sup>C</sup> &cup;''B''<sup>C</sup>
 
:закони доповнення:
 
:закони доповнення:
::*''A'' &cup;''A''<sup>C</sup> &nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''
+
::* ''A'' &cup;''A''<sup>C</sup> &nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''
::*''A'' &cap;''A''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
+
::* ''A'' &cap;''A''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
::*&Oslash;<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''
+
::* &Oslash;<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''
::*'''U'''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
+
::* '''U'''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
:закон подвійного доповнення:
+
:закон подвійного доповнення (операція доповнення є [[інволюція (математика)|інволюцією]]):
::*''A''<sup>C</sup><sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''.
+
::* ''A''<sup>C</sup><sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''.
  +
 
Попереднє співвідношення твердить, що якщо ''A'' є [[непорожня підмножина]] '''U''', то {''A'', ''A''<sup>C</sup> } є '''поділом''' '''U'''.
   
  +
== Джерела ==
Попереднє співвідношення твердить, що якщо ''A'' є [[порожня множина|непорожня підмножина ]] '''U''', то {''A'', ''A''<sup>C</sup> } є '''поділом''' '''U'''.
 
  +
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}
   
  +
{{Теорія множин}}
== See also ==
 
* [[Алгебра множин]]
 
* [[Симетрична різниця множин]]
 
   
[[Category:Теорія множин]]
+
[[Категорія:Теорія множин]]
  +
[[Категорія:Бінарні операції]]
[[Category:Алгебра]]
 

Поточна версія на 08:24, 21 жовтня 2015

доповнення

об'єднання
перетин

різниця

симетрична різниця
декартів добуток



В теорії множин та інших галузях математики, одна з основних операцій на множинах.

Розрізняють доповнення множин (абсолютне доповнення) та різницю множин (відносне доповнення).


Різниця множин (відносне доповнення)Редагувати

Якщо A та B - множини, то різницею між B та А (порядок множин важливий), або відносним доповненням A до B, є множина з елементів B, які не належать A. Різниця множин є бінарною операцією.

 
Відносне доповнення A до B:
 

Відносне доповнення A до B позначається як B − A (також B \ A).

Формально:

 

Приклади:

Наступне твердження містить основні властивості операції різниці множин та її співвідношення з операціями об'єднання та перетину множин

ТВЕРДЖЕННЯ 1: Якщо A, B, та C є множини, то справедливі такі співвідношення::

  • C − (AB)  =  (C − A) ∪(C − B)
  • C − (AB)  =  (C − A) ∩(C − B)
  • C − (B − A)  =  (AC) ∪(C − B)
  • (B − A) ∩C  =  (BC) − A  =  B ∩(C − A)
  • (B − A) ∪C  =  (BC) − (A − C)
  • A − A  =  Ø
  • Ø − A  =  Ø
  • A − Ø  =  A

Абсолютне доповненняРедагувати

 
Доповнення A до U
 

Для універсальної множини U, відносне доповнення деякої множини A до U називається абсолютним доповненням (або просто доповненням) A, і позначається як AC або CA:

AC  =  U − A

Наступне твердження містить деякі основні властивості абсолютного доповнення та зв'язок цієї операції з операціями об'єднання та перетину множин

ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A та B є підмножини U, то виконуються такі співвідношення:

правила де Моргана:
  • (AB)C  =  ACBC
  • (AB)C  =  ACBC
закони доповнення:
  • AAC   =  U
  • AAC  =  Ø
  • ØC  =  U
  • UC  =  Ø
закон подвійного доповнення (операція доповнення є інволюцією):
  • ACC  =  A.

Попереднє співвідношення твердить, що якщо A є непорожня підмножина U, то {A, AC } є поділом U.

ДжерелаРедагувати