Відкрити головне меню

В математиці дзета-функція Гурвіца, названа на честь Адольфа Гурвіца — одна з дзета-функцій, які є узагальненнями дзета-функції Рімана. Формально вона може бути задана степеневим рядом для комплексних аргументів s, при Re(s) > 1, і q, Re(q) > 0:

Цей ряд є абсолютно збіжним для заданих значень s і q. Дзета-функція Рімана — окремий випадок дзета-функції Гурвіца при q = 1.

Зміст

Аналітичне продовженняРедагувати

Дзета функція Гурвіца допускає аналітичне продовження до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних s, при s ≠ 1. У точці s = 1 вона має простий полюс з лишком рівним 1. Постійний член розкладу в ряд Лорана в околі точки s = 1 дорівнює:

 ,

де Γ(x) — гамма-функція, і ψ(x) — дігамма-функція.

Представлення у вигляді рядівРедагувати

Представлення у вигляді збіжного степеневого ряду для q > −1 і довільного комплексного s ≠ 1 було отримано в 1930 році Гельмутом Хассе [1]


 

Цей ряд є рівномірно збіжним на будь-якій компактній підмножині комплексної s-площини до цілої функції. Внутрішня сума може бути представлена у вигляді n-ої скінченної різниці для  , тобто:

 

де Δ — оператор скінченної різниці. Таким чином

 
 

Інтегральні представленняРедагувати

Дзета-функція Гурвіца має інтегральне представлення у вигляді перетворення Мелліна:

 

для Re(s) > 1 і Re(q) > 0.

Формула ГурвіцаРедагувати

 ,

де

 .

Це представлення дзета-функції Гурвіца є вірним для 0 ≤ x ≤ 1 и s>1. Тут   — позначає полілогарифм.

Функціональне рівнянняРедагувати

Дане функціональне рівняння пов'язує значення дзета-функції Гурвіцa зліва і праворуч від прямої Re(s) = 1/2 в комплексній s-площині. Для натуральних m і n, таких що m ≤ n рівність:

 

є вірною для всіх значень s.

Ряд ТейлораРедагувати

Похідна дзета-функції Гурвіца по другому аргументу також виражається через дзета-функцію Гурвіца:

 

Таким чином ряд Тейлора має вигляд:

 

Ряд ЛоранаРедагувати

Розклад дзета-функції Гурвіца в ряд Лорана може бути використаний для визначення констант Стілтьєса[en], які з'являються в розкладі:

 

Перетворення Фур'єРедагувати

Дискретне перетворення Фур'є по змінній s дзета-функції Гурвіца є хі-функцією Лежандра [2]

Зв'язок з многочленами БернулліРедагувати

Введена вище функція   узагальнює многочлени Бернуллі:

 .

З іншого боку,

 

Зокрема, при  :

 

Зв'язок з тета-функцією ЯкобіРедагувати

Якщо  тета-функція Якобі, тоді

 .

Ця формула є вірною для Re(s) > 0 і будь-якого комплексного z, яке не є цілим числом. Для цілого z = n формула спрощується:

 .

де ζ(s) — дзета-функція Рімана. Останній вираз є функціональним рівнянням для дзета-функція Рімана.

Зв'язок з L-функцією ДіріхлеРедагувати

При раціональних значеннях аргументу дзета-функція Гурвіца може бути представлена у вигляді лінійної комбінації L-функцій Діріхле і навпаки. Якщо q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 і 0 < n < k, тоді

 

при цьому сума здійснюється за всіма характерами Діріхле по модулю k. І навпаки

 

Зокрема існує таке представлення:

 

що узагальнює

  (Яке є вірним при натуральному q і ненатуральному 1 − qa.)

Раціональні значення аргументівРедагувати

Дзета-функція Гурвіца зустрічається в різних співвідношеннях для раціональних значень аргументів. [2] Зокрема, для многочленів Ейлера :

 

і

 ,

Крім того рівність

 ,

є вірною для  . Тут  і   виражаються через хі-функціію Лежандра   як

 

і

 

ЗастосуванняРедагувати

Дзета-функція Гурвіца зустрічається в різних розділах математики, зокрема в теорії чисел, де її теорія є найбільш розвиненою. Також дзета-функція Гурвіца зустрічається в теорії фракталів і динамічних систем. Дзета-функція Гурвіца застосовується в математичній статистиці, в законі Ципфа. В фізиці елементарних частинок використовується у формулі Швінгера [3], що дає точний результат для показника народження пар в рівнянні Дірака для стаціонарного електромагнітного поля.

Окремі випадки і узагальненняРедагувати

Дзета-функція Гурвіца пов'язані з полігамма-функцією:

 

Дзета-функція Лерхе узагальнює дзета-функцію Гурвіца:

 

тобто

 

ПриміткиРедагувати

  1. Helmut Hasse. Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe // Mathematische Zeitschrift. — 1930. — Nr. 1. — DOI:10.1007 / BF01194645.
  2. а б Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments // Math. Comp.. — 1999. — No. 68. — P. 1623-1630.
  3. J. Schwinger. On gauge invariance and vacuum polarization // Physical Review. — 1951. — Т. 82, № 5. — С. 664-679. — DOI:10.1103 / PhysRev.82.664.

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати