Дельта-функція Дірака

Версія від 19:22, 5 листопада 2010, створена DixonDBot (обговорення | внесок) (робот видалив: hu:Dirac-deltafüggvény; косметичні зміни)

δ-функція — це узагальнена функція, формально визначається як неперервний лінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.

Введена англійським фізиком Діраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в в точці , евклідового простору , записується за допомогою δ-функції у вигляді .

Означення

δ-функція визначається формальним співвідношенням

 

для будь-якої неперервної функції  .

Властивості

Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:

  •  .
  •  .
  •  .
  •  , де   — нулі функції  .

Інтегральне представлення

У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:

Розглянемо інтеграл

 ,    (1)

який можна інтерпретувати як границю

 .    (2)

Відомо, що

 .    (3)

В силу (3) для будь-якого   справедлива рівність:

 .    (4)

Можна показати, що при необмеженому зростанні   виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до  ; це дозволяє зробити висновок, що:

 .

Похідна дельта-функції

Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції  :

 .

Підставивши  , одержимо вираз:

 .

Після перетворення маємо:

 .

Оскільки  , одержуємо остаточний вираз

 .

У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:

 .

Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:

 ;
 ;
 .

Перетворення Фур'є

До дельта-функції   можна застосувати перетворення Фур'є:

 

в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою:  .

Доведено, що похідна функції Хевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда — первісна дельта-функції:

 .

Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції

 ,

одержимо її образ у вигляді:

 .

Представлення в різних координатах і системах відліку

У двовимірному просторі:

 ;
 ;
 .

У полярних координатах:

 .

У тривимірному просторі:

 ;
 .

У циліндричній системі:

 .

У сферичній системі відліку:

 .

Фізична інтерпретація

 
Графік функції Хевісайда, похідна від якої — дельта-функція
 
Графік дельта-функції

Миттєве прискорення

Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.

Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:

 .


Функція Гріна

Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В квазіклачисному наближенні   хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траекторіях за рівняннями Ньютона. Через дельта-функцію, також записуєтся функція Гріна лінійного оператора  , що діє на узагальнені функції над многовидом   в точці  . Рівняння має вигляд  .

де   — оператор Лапласа.

Важливо відмітити наступну формулу

 ,

де

  — функція Гріна.

Цей вираз випливає з того, що   веде себе подібно до дельта-функції. [1]. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для скалярного потенціала:

 

задовольняє рівнянню Пуасона:

 .

Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.

Див. також

Функція Хевісайда

Література

  • Кудрявцев Л. Д. «Краткий курс математического анализа, том 2», ISBN 5-9221-0185-4

Примітки

  1. Доведення властивостей функції Гріна для точкового джерела