Дельта-функція Дірака

Версія від 14:23, 7 вересня 2014, створена Dexbot (обговорення | внесок) (Removing Link GA template (handled by wikidata))

δ-функція — це узагальнена функція, формально визначається як неперервний лінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.

схематичне зображення дельта функції як лінії з якої виступає стрілка. Висота стрілки відображає число, яке можна розцінювати як площу під графіком функції.
Дельта функція Дірака як границя (в сенсі границі за розподілом) послідовності гаусівських функцій розподілу as

Введена англійським фізиком Діраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, електричний заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в точці , евклідового простору , записується за допомогою δ-функції у вигляді .

Означення

δ-функція визначається формальним співвідношенням

 

для будь-якої неперервної функції  .

Властивості

Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:

  •  .
  •  .
  •  .
  •  , де   — нулі функції  .

Інтегральне представлення

У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:

Розглянемо інтеграл

 ,    (1)

який можна інтерпретувати як границю

 .    (2)

Відомо, що

 .    (3)

Як наслідок з (3) для будь-якого   справедлива рівність:

 .    (4)

Можна показати, що при необмеженому зростанні   виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до  ; це дозволяє зробити висновок, що:

 .

Похідна дельта-функції

Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції  :

 .

Підставивши  , одержимо вираз:

 .

Після перетворення маємо:

 .

Оскільки  , одержуємо остаточний вираз

 .

У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:

 .

Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:

 ;
 ;
 .

Перетворення Фур'є

До дельта-функції   можна застосувати перетворення Фур'є:

 

в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою:  .

Доведено, що похідна функції Хевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда — первісна дельта-функції:

 .

Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції

 ,

одержимо її образ у вигляді:

 .

Представлення в різних координатах і системах відліку

У двовимірному просторі:

 ;
 ;
 .

У полярних координатах:

 .

У тривимірному просторі:

 ;
 .

У циліндричній системі:

 .

У сферичній системі відліку:

 .

Фізична інтерпретація

 
Графік функції Хевісайда, похідна від якої — дельта-функція
 
Графік дельта-функції

Миттєве прискорення

Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.

Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:

 .

Функція Гріна

Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В квазікласичному наближенні   хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траєкторіях за рівняннями Ньютона. Через дельта-функцію, також записуєтся функція Гріна лінійного оператора  , що діє на узагальнені функції над многовидом   в точці  . Рівняння має вигляд  .

де   — оператор Лапласа.

Важливо відмітити наступну формулу

 ,

де

  — функція Гріна.

Цей вираз випливає з того, що   веде себе подібно до дельта-функції.[1]. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для скалярного потенціала:

 

задовольняє рівнянню Пуасона:

 .

Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.

Див. також

Функція Хевісайда

Література

Примітки