Губка Менгерагеометричний фрактал, один з тривимірних аналогів килима Серпінського.

5 ітерацій
На 6-й ітерації
Губка Менгера після 4-х ітерацій

Побудова

Ітеративний метод

Куб   з ребром 1 ділять площинами, паралельними його граням, на 27 рівних кубів. З куба   видаляють центральний куб і всі прилеглі до нього по двовимірних гранях куби такого ж розміру. Лишається множина  , що складається з решти 20 замкнутих кубів «першого рангу». Вчинивши так само з кожним з кубів першого рангу, отримаємо множину  , що містить 400 кубів другого рангу. Продовжуючи цей процес нескінченно, одержимо нескінченну послідовність:  , перерізом членів якої є губка Менгера.

Метод хаосу

  1. Задаються координати 20 точок-атракторів. Ними є 8 вершин і 12 середин ребер вихідного куба  .
  2. Ймовірнісний простір   розбивається на 20 рівних частин, кожна з яких відповідає одному атрактору.
  3. Задається деяка початкова точка  , що лежить всередині куба  .
  4. Початок циклу побудови точок, що належать множині губки Менгера.
    1. Генерується випадкове число  .
    2. Активним атрактором стає той, на ймовірнісний підпростір якого випало згенероване число.
    3. Будується точка   з новими координатами:  , де:   – координати попередньої точки  ;   – координати активної точки-атрактора.
  5. Повернення до початку циклу.

Губка Менгера складається з 20 однакових частин, коефіцієнт подібності 1/3.

Властивості

  • Кожна грань вихідного куба виглядає як килим Серпінського.
  • Губка Менгера має проміжну (тобто не цілу) хаусдорфову розмірність, яка дорівнює   оскільки вона складається з 20 рівних частин, кожна з яких подібна всій губці з коефіцієнтом подібності 1/3.
  • Губка Менгера має топологічну розмірність 1, більше того
    • Губка Менгера топологічно характеризується як одновимірний зв'язний локально зв'язний метризовний компакт, що не має точок локального розбиття (тобто для будь-якого зв'язного околу   будь-якої точки   множина   зв'язна) і не має непорожніх відкритих і вкладених у площину підмножин.
  • Губка Менгера є універсальною кривою Урисона, тобто вона має таку властивість, що яка б не була крива Урисона  , в губці Менгера знайдеться підмножина  , гомеоморфна  .
  • Губка Менгера має нульовий об'єм, але нескінченну площу граней. Об'єм визначається формулою 20/27 на кожну ітерацію.

Див. також

Фільм

На основі губки Менгера французьким інженером ЛеМаршаном з серії фільмів Повсталий з пекла була побудована скринька.