| [перевірена версія] | [очікує на перевірку] |
|
|
| |
Знайдемо суму перших <math>n</math> членів геометричної прогресії |
|
Знайдемо суму перших <math>n</math> членів геометричної прогресії |
| |
|
|
|
| − |
<math>s_n = a(r^0+r^1+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,</math> |
+ |
<math>S_n = a(r^0+r^1+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,</math> |
| |
|
|
|
| |
Помножимо та поділимо праву частину на <math>(r-1)\,</math> (<math>r</math> не може бути 1), добуток <math>(1+r+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,</math> на <math>(r-1)\,</math> дає <math>(r^n-1)\,</math>, оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо: |
|
Помножимо та поділимо праву частину на <math>(r-1)\,</math> (<math>r</math> не може бути 1), добуток <math>(1+r+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,</math> на <math>(r-1)\,</math> дає <math>(r^n-1)\,</math>, оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо: |
| |
|
|
|
| − |
: <math>s_n = a\sum_{k=0}^{n-1} r^k=a\frac{r^{n}-1}{r-1}</math><br /> |
+ |
:<math>S_n = a\sum_{k=0}^{n-1} r^k=a\frac{r^{n}-1}{r-1}</math><br /> |
| |
|
|
|
| − |
Якщо <math>\left| r \right|<1</math>, то <math>a_n \to 0</math>, тоді:<br /> |
+ |
Якщо <math>\left| r \right|<1</math> і <math>n \to \infty</math> то <math>r^n \to 0</math>, тоді: |
| − |
<math>S_n \to {a_0 \over 1-r}</math> при <math>n \to \infty</math> |
+ |
<math>S_n \to {a \over 1-r}</math> |