Антисиметричне відношення: відмінності між версіями

[неперевірена версія][неперевірена версія]
Немає опису редагування
мНемає опису редагування
 
(Не показані 6 проміжних версій 5 користувачів)
Рядок 1: Рядок 1:
{{Властивості бінарних відношень}}
{{Властивості бінарних відношень}}
В [[математика|математиці]], [[бінарне відношення]] ''R'' на [[множина|множині]] ''X'' є '''антисиметричним''', коли для будь-яких ''a'' та ''b'' з ''X'', таких що ''a'' відноситься до ''b'', і ''a''<math> \ne </math>''b'', випливає що ''b'' не відноситься до ''a''.<ref>{{Cite news|title=Antisymmetric relation|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Antisymmetric_relation&oldid=912340882|work=Wikipedia|date=2019-08-24|accessdate=2019-10-21|language=en|last=V|first=}}</ref>
В [[математика|математиці]], [[бінарне відношення]] ''R'' на [[множина|множині]] ''X'' є '''антисиметричним''', коли для будь-яких ''a'' та ''b'' з ''X'', таких що ''a'' відноситься до ''b'', і ''a''<math> \ne </math>''b'', випливає що ''b'' не відноситься до ''a''.


: <math>\forall a, b \in X,\ a R b \and a \ne b \Rightarrow \lnot R(b,a) .</math>
: <math>\forall a, b \in X,\ a R b \and a \ne b \Rightarrow \lnot R(b,a) .</math>


Співвідношення антисиметричності нічого не говорить про відношення між однаковими елементами.
Співвідношення антисиметричності нічого не говорить про відношення між однаковими елементами.
Проте з вище вказаної умови випливає співвідношення:
Якщо додатково накласти умову [[рефлексивність|рефлексивності]] на антисиметричне відношення, то матимемо умову:


: <math>\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b</math>
: <math>\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b</math>
Рівність ''a''&nbsp;=&nbsp;''b'' отримаємо лише у випадку [[рефлексивність|рефлексивого]] відношення.


У випадку, якщо на антисиметричне відношення додатково накласти умову [[антирефлексивність|антирефлексивності]], то відношення стане [[Асиметричне відношення|асиметричним]]:
У випадку, якщо на антисиметричне відношення додатково накласти умову [[антирефлексивність|антирефлексивності]], то відношення стане [[Асиметричне відношення|асиметричним]]:
Рядок 22: Рядок 24:
* Антисиметричним є відношення нестрогої нерівності на множині чисел, адже ''a'' ≤ ''b'' та ''b'' ≤ ''a'' одночасно можливо тоді й тільки тоді, коли ''a''=''b''.
* Антисиметричним є відношення нестрогої нерівності на множині чисел, адже ''a'' ≤ ''b'' та ''b'' ≤ ''a'' одночасно можливо тоді й тільки тоді, коли ''a''=''b''.
* Антисиметричним відношенням на наборі множин буде відношення включення. Якщо, A⊆B та B⊆A, то A=B.
* Антисиметричним відношенням на наборі множин буде відношення включення. Якщо, A⊆B та B⊆A, то A=B.
* Антисиметричним відношенням на підмножині [[Цілі числа|цілих чисел]] буде відношення ділення. Якщо, ''a'' ділить ''b'' та ''b'' діліть ''a'', то ''a'' = ''b''.
* Антисиметричним відношенням на підмножині [[Цілі числа|цілих чисел]] буде відношення ділення. Якщо, ''a'' ділить ''b'' та ''b'' ділить ''a'', то ''a'' = ''b''.


== Властивості ==
== Властивості ==
Рядок 31: Рядок 33:
Існують відношення які не є ані ''симетричними'', ані ''антисиметричними'': <!-- «ділиться» (" <math>\vdots \!</math> "). ??? -->
Існують відношення які не є ані ''симетричними'', ані ''антисиметричними'': <!-- «ділиться» (" <math>\vdots \!</math> "). ??? -->


Існують відношення, які є ''симетричними'', але не ''антисиметричними'': відношення подібності (конгруенція).
Існують відношення, які є ''симетричними'', але не ''антисиметричними'': відношення подібності ([[конгруенція]]).


Існують відношення, які не є ''симетричними'', але ''антисиметричні'': «менше або дорівнює» (" <math>\le \!</math> ").
Існують відношення, які не є ''симетричними'', але ''антисиметричні'': «менше або дорівнює» (" <math>\le \!</math> ").


== Джерела ==
[[Категорія:Математичні відношення]]
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}
* {{Хаусдорф.Теория множеств}}

[[Категорія:Бінарні відношення]]

Поточна версія на 19:11, 31 грудня 2021

Властивості бінарних відношень:

рефлексивність
антирефлексивність

симетричність
асиметричність

антисиметричність

транзитивність
антитранзитивність

повнота


В математиці, бінарне відношення R на множині X є антисиметричним, коли для будь-яких a та b з X, таких що a відноситься до b, і ab, випливає що b не відноситься до a.

Співвідношення антисиметричності нічого не говорить про відношення між однаковими елементами. Проте з вище вказаної умови випливає співвідношення:

Рівність a = b отримаємо лише у випадку рефлексивого відношення.

У випадку, якщо на антисиметричне відношення додатково накласти умову антирефлексивності, то відношення стане асиметричним:

.

Зазвичай відношення порядку ≤ на множині дійсних чисел є антисиметричними: якщо для двох дійсних чисел x і y обидві нерівності x ≤ y і y ≤ x виконуються, то x і y мають бути рівними. Крім того, підмножина порядку ⊆ на множині будь-якого набору антисиметрична: дано дві множини A і B, якщо кожен елемент, що знаходиться в A також знаходиться в B і кожен елемент B також в A, то A і B повинні містити однакові елементи, тоді:

Матриця антисиметричного відношення характеризується тим, що немає жодної пари одиниць на місцях, симетричних відносно головної діагоналі. У графі такого відношення можуть бути петлі, але зв'язок між вершинами, якщо він є, також відбувається тільки однією спрямованою дугою.

ПрикладиРедагувати

  • Антисиметричним є відношення нестрогої нерівності на множині чисел, адже ab та ba одночасно можливо тоді й тільки тоді, коли a=b.
  • Антисиметричним відношенням на наборі множин буде відношення включення. Якщо, A⊆B та B⊆A, то A=B.
  • Антисиметричним відношенням на підмножині цілих чисел буде відношення ділення. Якщо, a ділить b та b ділить a, то a = b.

ВластивостіРедагувати

Антисиметричність не є оберненою до симетричності.

Існують відношення, які одночасно є симетричними та антисиметричними: «дорівнює» ("   ").

Існують відношення які не є ані симетричними, ані антисиметричними:

Існують відношення, які є симетричними, але не антисиметричними: відношення подібності (конгруенція).

Існують відношення, які не є симетричними, але антисиметричні: «менше або дорівнює» ("   ").

ДжерелаРедагувати