Відкрити головне меню

Інтегрування частинами — один із способів знаходження інтеграла.

Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція представлена у виді добутку двох неперервних і повних функцій (кожна з яких може бути як елементарною функцією, так і композицією), то справедливі формули:

  • для невизначеного інтеграла:
  • для визначеного:

Передбачається, що знаходження інтеграла простіше, ніж . У іншому випадку застосування методу не виправдано.

Зміст

Одержання формулРедагувати

Для невизначеного інтегралаРедагувати

Функції   і   повні, отже, можливе диференціювання:

 

Ці функції також неперервні, одже можна взяти інтеграл від обох частин рівності:

 

Операція інтегрування протилежна диференціюванню:

 

Після перестановок:

 

Для визначеногоРедагувати

У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:

 
 
 

ПрикладиРедагувати

  •  
  •  
  • Іноді цей метод застосовується кілька разів:
 
 
  • Цей метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:
 
 
  • У деяких випадках інтегрування частинами не дає прямої відповіді:
 
 
 
 
У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:
 
Вирішивши отриману систему, одержуємо:
 
 

Див. такожРедагувати