Ізоморфізм груп

Версія від 18:24, 28 березня 2011, створена RedBot (обговорення | внесок) (r2.5.2) (робот змінив: he:איזומורפיזם)

Ізоморфі́зм групбієктивний гомоморфізм груп.

Визначення

Ізоморфізм груп — взаємно однозначне відображення   групи (G, *) в групу (H, ·), що зберігає групову операцію, тобто:

 

Ізоморфні групи з точки зору теорії груп є еквівалентними.

Приклади

  • Група дійсних чисел з додаванням, ізоморфна групі додатніх дійсних чисел з множенням:
 

через ізоморфізм   (див. експонента).

Автоморфізм групи

Автоморфізм групи — ізоморфізм групи (G, *) в себе. Тобто бієкція

 

Автоморфізм групи називається внутрішнім, якщо його можна задати як

 

Не внутрішній автоморфізм називають зовнішним автоморфізмом.

  • Автоморфізм завжди переводить одиницю групи в себе ж.
  • Композиція двох автоморфізмів є автоморфізмом. Множина всіх автоморфізмів G, відносно композиції утворює групу — групу автоморфізмів G, позначається — Aut(G).
  • Множина всіх внутрішніх автоморфізмів є нормальною підгрупою в Aut(G), і позначається — Inn(G).
  • Фактор-група Aut(G) / Inn(G) називається групою зовнішніх автоморфізмів, і позначається — Out(G).

Дивіться також

Література

  • А.Г. Курош «Общая алгебра», — М.: Мир, 1973, 162 с
  • П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с