У математиці, sign функція, signum функція, си́гнум-фу́нкція, зна́кова фу́нкція або функція знакулатинської signum «знак»)  — це непарна математична функція, яка «витягує» знак дійсного числа. У математичних виразах функція sign часто зустрічається як sgn.

Означення ред.

 
Функція знаку y = sgn(x)


Функція знаку дійсного числа x визначається наступним чином:

 

Або як:

 

Властивості ред.

Будь-яке дійсне число може бути представлене у вигляді добутку його абсолютного значення і його функції знаку:

 

Звідси випливає, що при 

 

Так само і для будь-якого дійсного числа x

 

Ми також можемо переконатися, що

 

Функція   є похідною функції   з точністю до невизначеності при x = 0:

 

Більш формально, в теорії інтегрування функцій  — це слабка похідна, а в теорії опуклих функцій субдиференціалом абсолютного значення при   є інтервал  , «заповнення» функції знаку (субдиференціал абсолютного значення не є однозначним при  ).

 
Функція знаку не є неперервною у точці x = 0

Похідна функції   дорівнює 0 для всіх x крім 0. Вона не є диференційовною при   у звичайному сенсі, але диференційовною в узагальненому сенсі в теорії розподілу, похідною від функції   є дельта-функція Дірака, що можна показати за допомогою тотожності

 

де H(x) Функція Гевісайда, H(0) = 12. Використовуючи цю тотожність, легко знайти похідну:

 

Перетворення Фур'є функції   має вигляд

 

де p.v. головне значення інтеграла за Коші.

Функцію   також можна виразити за допомогою дужки Айверсона

 

Функцію   можна записати з використанням функцій підлоги та абсолютного значення:

 

Для k ≫ 1 неперервне наближення функції знаку має вигляд:

 

Інше наближення має вигляд:

 

яке стає «гострішим» при ε → 0; зауважимо, що це похідна від функції x2 + ε2. Це ґрунтується на тому факті, що   для всіх x ≠ 0 якщо ε = 0, і дає переваги для простого узагальнення на багатовимірні аналоги функції знаку (наприклад, частинні похідні функції x2 + y2).

Комплексний випадок ред.

Функцію   можна узагальнити на комплексні числа:

 

для будь-якого комплексного числа z, крім z = 0. Таким чином, значення функції   буде точкою на одиничному колі комплексної площини, що найближча до точки z. Тоді для z ≠ 0:

 

де   аргумент комплексного числа.

 
Комплексний варіант

З міркувань симетрії та для належного узагальнення функції   на множині дійсних чисел, зазвичай дану функцію на комплексній площині визначають і для z = 0:

 

Іншим узагальненням функції   для дійсних і комплексних виразів є функція csgn, що визначається як

 

де Re(z) дійсна частина числа z, а Im(z) комплексна частина z. Тоді для z ≠ 0 маємо

 

Узагальнена функція знаку ред.

Для дійсних значень x можна визначити узагальнену функцію (аналог функції знаку) ε(x), таку, що (ε(x))2 = 1 для всіх x, у тому числі і в точці x = 0 (на відміну від функції  , для якої (sgn(0))2 = 0). Ця узагальнена функція дозволяє побудувати алгебру узагальнених функцій, але ціною такого узагальнення є втрата комутативності. Зокрема, узагальнена функція знаку антикомутує з дельта-функцією Дірака

 

крім цього, ε(x) не можливо визначити при x = 0; і спеціальне позначення ε необхідне, щоб відрізнити її від функції знаку (ε(0) не визначено, але sgn(0) = 0).

Див. також ред.

Джерела ред.

  • Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.