q-символ Похгаммера

Q-символ Похгаммера, який називають також зсунутим q-факторіалом — q-аналог символу Похгаммера і визначається він як

$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})$ ,

при цьому

$(a;q)_{0}=1$

за визначенням. Q-символ Похгаммера є головним будівельним блоком у побудові q-аналогів. Наприклад, у теорії базисних гіпергеометричних рядів q-символ Похгаммера відіграє роль, як і звичайний символ Похгаммера в теорії узагальнених гіпергеометричних рядів.

На відміну від звичайного символу Похгаммера, q-символ Похгаммера можна розширити до нескінченного добутку:

$(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).$

Це аналітична функція від q всередині одиничного кола і може сприйматися як формальний степеневий ряд від q. Окремий випадок

$\varphi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$

відомий як функція Ейлера і грає важливу роль в комбінаториці, теорії чисел і теорії модулярних форм .

Тотожності

Скінченний добуток можна виразити через нескінченний:

$(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},$

що розширює визначення для від'ємних цілих n. Таким чином, для невід'ємного n маємо

$(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}$

і

$(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.$

Q-символ Похгаммера бере участь у багатьох тотожностях з q-рядами, зокрема в нескінченному розширенні рядів

$(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}$

і

${\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}$ ,

які є окремими випадками q-біноміальної теореми:

${\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.$

Фрідріх Карпелевич знайшов таку тотожність (див. доведення в статті Ольшанецького і Рогова):

${\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.$

Комбінаторна інтерпретація

Q-символ Похгаммера тісно пов'язаний з нумераційною комбінаторикою розбиттів. Коефіцієнт при $q^{m}a^{n}$ в

$(a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}$

дорівнює числу розбиттів m на не більше ніж n частин.

Оскільки це те ж саме, що розбиття m на частини, кожна з яких не перевищує n, отримуємо таку тотожність:

$(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}$ ,

як в розділі вище.

Коефіцієнт при $q^{m}a^{n}$ в

$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})$

дорівнює числу розбиттів числа m на n або n -1 різних частин.

Якщо видалити трикутне розбиття з n — 1 частинами з такого розбиття, ми залишимося з деяким розбивкою на не більше ніж n частин. Це дає бієкцію зі збереженням ваги між множиною розбиттів на n або n — 1 різних частин і множиною пар, що складаються з трикутного розбиття, яке містить n — 1 частин, і розбиття на не більше ніж n частин. Це приводить до тотожності:

$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}$

також описану вище. Обернена (в сенсі 1/f) функція для $(q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }$ виникає аналогічним чином як твірна функція для функції розбиття числа, $p(n)$, яка також розкладається в такі два q-ряди:

${\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.$

Q-біноміальна теорема саму можна довести за допомогою трохи більшого використання схожих комбінаторних аргументів.

Домовленість про множинні аргументи

Оскільки в тотожностях, що використовують q-символ Похгаммера, часто використовується добуток багатьох символів, домовились записувати добуток у вигляді одного символу з декількома аргументами:

$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$

Q-ряди

Q -ряд — це ряд, у якому коефіцієнти є функціями від q, зазвичай у вигляді виразів з $(a;q)_{n}$. Ранні результати належать Ейлеру, Гауссу і Коші. Систематичне вивчення почав Едуард Гейне (1843).

Зв'язок з іншими q-функціями

$\lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,$

ми визначаємо q-аналог числа n, відомий також як q-дужка або q-число числа n, рівним

$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

Звідси ми можемо визначити q-аналог факторіала, q-факторіал

Знову можна виявити, що звичайний факторіал дорівнює границі при q, яке прямує до 1. Це можна інтерпретувати як число прапорів у n-вимірному векторному просторі над полем з q елементами, а перехід q в границі до 1 дає інтерпретацію упорядкування як прапора у векторному просторі над полем з одним елементом.

Добуток від'ємних цілих q-дужок можна виразити в термінах q-факторіала так:

$\prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]_{q}!}{q^{n(n+1)/2}}}$

Від q-факторіалів можна перейти до визначення q-біноміальних коефіцієнтів, відомих також як гауссові коефіцієнти, гауссові многочлени або гауссові біноміальні коефіцієнти, в такий спосіб

${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}},$

звідки легко бачити, що трикутник цих коефіцієнтів симетричний у тому сенсі, що ${\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}$ для всіх $0\leqslant m\leqslant n$ .

Можна показати, що

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}$

З наведених вище рекурсивних відношень можна помітити, що такі варіанти $q$-біноміальної теореми є розширеннями в термінах цих коефіцієнтів:

${\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}$

Можна отримати q-аналог гамма-функції, званий q-гамма-функцією і визначений як

$\Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}$

Функція збігається до звичайної гамма-функції при q, яке прямує до 1 зсередини диска. Зауважимо, що

$\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)$

для будь-якого x і

$\Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!{\frac {}{}}.$

для невід'ємних цілих значень n. Альтернативно, функцію можна взяти як розширення q-факторіала в системі дійсних чисел.

Див. також

• Базисні гіпергеометричні ряди
• Еліптична гамма-функція
• Тета-функція Якобі
• Символ Похгаммера
• q-похідна
• q-тета-функція
• Теорема про п'ятикутні числа
• Тотожності Роджерса — Рамануджана
• Неперервний дріб Роджерса — Рамануджана
• q-тотожність Вандермонда

Література

• Koekoek R., Swarttouw R. F. The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its -Analogue // Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17. — Delft, Netherlands : Technische Universiteit Delft, 1998. — С. 7.
• Бахтин А.Б. [1] — Москва, 2017. — С. 6-7. — (препринты ИПМ им. М.В.Келдыша) Архівовано з джерела 23 січня 2022
• George Gasper, Mizan Rahman. Basic Hypergeometric Series // Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. — 2nd. — Cambridge : Cambridge University Press, 2004. — Т. 96. — ISBN 0-521-83357-4.
• Roelof Koekoek, Rene F. Swarttouw. The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues. Архівовано з джерела 21 квітня 2021. Процитовано 28 травня 2021.
• Exton H. q-Hypergeometric Functions and Applications. — New York, Chichester : Halstead Press, Ellis Horwood, 1983. — ISBN 0853124914.
• Ольшанецкий М.А., Рогов В.-Б.К. Модифицированные q-функции Бесселя и q-функции Макдональда // Матем. сб.. — 1996. — Т. 187, № 10 (13 травня). — С. 109-128.
• [2] / Frank W. J. Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. — Section 17.2 : NIST, Cambridge University Press, 2010. — С. 421. — ISBN 978-0-521-19225-5. Архівовано з джерела 9 вересня 2010
• Berndt B. C. Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 June 2009 / N. D. Baruah, B. C. Berndt, S. Cooper, T. Huber, and M. J. Schlosser, eds.. — Mysore : Ramanujan Mathematical Society, 2010. — 13 травня. — С. 31-51. Архівовано з джерела 13 грудня 2016. Процитовано 28 травня 2021.
• Heine E. Untersuchungen über die Reihe // J. Reine Angew. Math.. — 1847. — Т. 34 (13 травня). — С. 285-328.

Посилання

• Weisstein, Eric W. q-аналог(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-дужка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-факторіал(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-ряди(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-біноміальний коефіцієнт(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.