Ядро матриці

Ядро матриці A розміру m × n, це множина

{\text{Ker}}(\mathbf {A} )=\left\{{\textbf {x}}\in {\textbf {R}}^{n}:\mathbf {Ax} ={\textbf {0}}\right\}

Матрицю $\mathbf {A}$ можна розглядати як матрицю лінійного відображення із простору розмірності n в простір розмірності m.

Для знаходження ядра матриці потрібно розв'язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Приклад ред.

Розглянемо матрицю

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.

Нульовий простір цієї матриці утворюють всі вектори (x, y, z) ∈ R³ для яких

{\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}{\text{.}}

Це можна записати в вигляді однорідної системи лінійних рівнянь із шуканими x, y і z:

{\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&3y&&\;+\;&&5z&&\;=\;&&0,\\-4x&&\;+\;&&2y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&0.\\\end{alignedat}}

І далі у вигляді матриці:

\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].

Із використанням методу Жордана Гауса, переходимо до:

\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0.625&0\\0&1&1.625&0\end{array}}\right].

Отже:

{\begin{alignedat}{7}x=\;&&-0.625c\\y=\;&&-1.625c.\end{alignedat}}

Тепер ми можемо записати нульовий простір (розв'язки Ax = 0) в термінах c (яка є нашою вільною змінною), де c є скаляром:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}\,\,\,-0.625\\-1.625\\1\end{bmatrix}}.

Нульовий простір A збігається з множиною розв'язків цих рівнянь (в цьому випадку, пряма через початок координат в R³).