Функція Томе

Функція Томе — це визначена на множині дійсних чисел функція $f(x)$ від дійсної змінної $x$, що названа на честь Карла Йоганнеса Томе. Вона має багато назв: модифікована функція Діріхле, функція Рімана, краплева функція, лінійкова функція, Зірка Вавилона. Визначення можна записати так:

Графік функції Томе на інтервалі (0,1). Показані всі раціональні точки із знаменником не більше 200.

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&x={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\1&x=0\\\end{cases}}$

У даному означенні вважається, що дріб ${\frac {p}{q}}$ є нескоротним.

Властивості

• Функція Томе є неперервною в усіх ірраціональних точках і є розривною для всіх раціональних значень аргументів.

Справді, для будь-якого $x\in \mathbb {R}$ маємо

$\lim _{y\to x}f(y)=0.\,$

оскільки завжди можна підібрати проколотий окіл настільки малим, щоб усі належні до нього раціональні числа мали достатньо великі знаменники. З означення функції Томе і означення неперервності функції одержуємо необхідне твердження.

• На відміну від функції Діріхле, функція Томе є інтегровною за Ріманом на будь-якій скінченній області інтегрування.

Справді, нехай Z  — деяке розбиття області інтегрування і $\delta x_{i}<\lambda$  — довжини проміжків розбиття. Позначимо також $\omega _{i}$ коливання Функції Томе на проміжку і. Кількість раціональних чисел, що записуються як нескоротний дріб із знаменниками $q\leq N$ де $N\in \mathbb {N}$ є, очевидно, деяким скінченним числом k. Тоді кількість проміжків розбиття, що містять такі числа, рівна щонайбільше 2k, а їх сукупна довжина не перевищує $2k\lambda \,$. На інших проміжках коливання функції є меншим ${\frac {1}{N}}$. Остаточно можемо записати:

$\sum \omega _{i}\delta _{i}<2k\lambda +{\frac {d}{N}}$, де d   -- довжина області інтегрування.

Узявши N достатньо великим, а $\lambda \,$ достатньо малим, можемо зробити цю суму як завгодно малою, звідки й випливає інтегровність за Ріманом.

Див. також

• Функція Діріхле
• Евклідів сад — функцію Томе можна інтерпретувати, як перспективне зображення Евклідового саду

Література

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)