Функція Тер-Антоняна

Функція Тер-Антоняна параметризує енергетичні спектри первинних космічних променів в області «коліна» ($10^{15}-10^{17}$ еВ) неперервно диференційованою функцією енергії $E$ з урахуванням швидкості зміни спектрального нахилу. Функція виражається формулою:

Приклад функції формування «коліна».

${\frac {dF}{dE}}=\Phi E^{-\gamma _{1}}\left(1+\left({\frac {E}{E_{k}}}\right)^{\epsilon }\right)^{\frac {\gamma _{1}-\gamma _{2}}{\epsilon }}$,

(1)

де $\Phi$ — коефіцієнт масштабу, $\gamma _{1}$ і $\gamma _{2}$ — нахили асимптот функції (або «спектральні нахили») у логарифмічному масштабі при $E\ll E_{k}$ і $E\gg E_{k}$ відповідно для даної енергії $E_{k}$ (так звана енергія «коліна»). Швидкість зміни спектральних нахилів задається у функції (1) параметром «гостроти коліна», $\epsilon >0$. Функція (1) була запропонована в 1998 році на семінарі ANI'98 Самвелом Тер-Антоняном як для інтерполяції енергетичних спектрів первинних частинок космічних променів в діапазоні енергій 1—100 ПеВ, так і для пошуку параметризованих розв'язків оберненої задачі для реконструкції енергетичних спектрів первинних космічних променів. Функція (1) також використовується для інтерполяції спостережуваних спектрів великих повітряних злив в області «коліна».

Функцію (1) можна переписати так:

${\frac {dF}{dE}}=\Phi E^{-\gamma _{1}}Y(E,\epsilon ,\Delta \gamma ),$

де $\Delta \gamma =\gamma _{2}-\gamma _{1}$, а

$Y(E,\epsilon ,\Delta \gamma )\equiv \left(1+\left({\frac {E}{E_{k}}}\right)^{\epsilon }\right)^{-{\frac {\Delta \gamma }{\epsilon }}}$

є функцією форми «коліна», що описує зміну спектрального нахилу. Приклади $Y(E,\epsilon ,\Delta \gamma =0.5)$ для $\epsilon \equiv 0.5,1,2,\cdots 500$ представлені на рисунку.

Швидкість зміни спектрального нахилу від $-\gamma _{1}$ до $-\gamma _{2}$ щодо енергії ($E$) виводиться з (1) диференціюванням:

${\frac {df(E)}{dx}}=-\gamma _{1}-{\frac {\Delta \gamma }{1+(E_{k}/E)^{\epsilon }}}$,

де

$f=\ln \left({\frac {dF}{dE}}\right)$,

$x=\ln({\frac {E}{E_{k}}})$,

і

$\left({\frac {df}{dx}}\right)_{E=E_{k}}=-{\frac {\gamma _{1}+\gamma _{2}}{2}}$

є спектральним нахилом при енергії «коліна», незалежним від гостроти.

Функція (1) збігається зі спектрами Б. Пітерса для $\epsilon =1$ і асимптотично наближається до кусково-степеневого закону для $\epsilon \gg 1$:

$\left({\frac {dF}{dE}}\right)_{\epsilon =\infty }\propto \left({\frac {E}{E_{k}}}\right)^{-\gamma }$,

де

$\gamma ={\begin{cases}\gamma _{1},&{\text{if }}E<E_{k}\\\gamma _{2},&{\text{if }}E>E_{k}.\end{cases}}$