Функція Мінковського

Функція «знак питання» Мінковського — побудована Германом Мінковським монотонна сингулярна функція $?(x)$ на відрізку $[0,1]$, яка має низку чудових властивостей. Так, вона взаємно-однозначно і зі збереженням порядку переводить квадратичні ірраціональності (тобто, числа вигляду $a+{\sqrt {b}},$ де $a$ і $b$ раціональні) на відрізку $[0,1]$ у раціональні числа на тому ж відрізку, а раціональні числа — в двійково-раціональні. Вона пов'язана з рядами Фарея, ланцюговими дробами, і дробово-лінійними перетвореннями, а її графік має низку цікавих симетрій.

Функція Мінковського

Побудова

Функцію Мінковського можна задати декількома еквівалентними способами: через ряди Фарея, через ланцюгові дроби і побудовою графіка за допомогою послідовних ітерацій.

Задання за допомогою дерева Штерна — Броко

На кінцях відрізка функція Мінковського задається як $?(0)=0$ і $?(1)=1$. Після цього для будь-яких двох раціональних чисел ${\frac {a}{b}}$ і ${\frac {c}{d}}$, для яких $ad-bc=1$ — іншими словами, для будь-яких двох послідовних у будь-якому з рядів Фарея, — функція в їх медіанті ${\frac {a+c}{b+d}}$ визначається як середнє арифметичне значень у цих точках:

$?\left({\frac {a+c}{b+d}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?\left({\frac {a}{b}}\right)+?\left({\frac {c}{d}}\right)\right).$

Так

$?\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {?(0)+?(1)}{2}}={\frac {1}{2}},$

$?\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {?(0)+?(1/2)}{2}}={\frac {1}{4}},$

$?\left({\frac {2}{3}}\right)={\frac {?(1/2)+?(1)}{2}}={\frac {3}{4}}$

і так далі.

Оскільки послідовності

${\frac {0}{1}},{\frac {1}{1}},$

${\frac {0}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{1}},$

${\frac {0}{1}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{1}},$

у яких наступна виходить з попередньої дописуванням між кожними сусідніми її елементами їх медіанти, перераховують в об'єднанні всі раціональні числа відрізка $[0,1]$ (див. дерево Штерна — Броко), така ітеративна процедура задає функцію Мінковського у всіх раціональних точках $[0,1]$. Більш того, легко бачити, що множиною її значень у цих точках виявляються точно всі двійково-раціональні числа $[0,1]$ — іншими словами, щільна в $[0,1]$ множина. Тому побудована функція за монотонністю однозначно продовжується до неперервної функції $?\colon [0,1]\to [0,1]$, і це якраз і є функція Мінковського.

Задання за допомогою ланцюгового дробу

Функція Мінковського, в певному сенсі, перетворює розклад у ланцюговий дріб на подання в двійковій системі числення. А саме, точку $x\in [0,1]$, що розкладається в ланцюговий дріб як $x=[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$, функція Мінковського переводить у

$?(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{2^{a_{1}+\ldots +a_{k}-1}}}.$

Іншими словами, точка

$x={\frac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}}$

переходить у точку

$?(x)=0{,}\underbrace {0\ldots 0} _{a_{1}-1}\underbrace {1\ldots 1} _{a_{2}}\underbrace {0\ldots 0} _{a_{3}}\underbrace {1\ldots 1} _{a_{4}}\ldots _{(2)}.$

Самоподібність

Нехай точка $x\in [0,1]$ задається ланцюговим дробом $x=[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$. Тоді збільшення $a_{1}$ на одиницю, тобто, перехід до $y=[0;a_{1}+1,a_{2},\ldots ]$ задається відображенням

$f\colon x\mapsto y={\frac {1}{1+{\dfrac {1}{x}}}}={\frac {x}{1+x}},$

а функція Мінковського після такого перетворення ділиться (як це випливає з її задання через ланцюговий дріб аргументу) навпіл:

$?\left({\frac {x}{1+x}}\right)={\frac {?(x)}{2}}.\qquad (1)$

З іншого боку, зі симетрії відносно $1/2$ медіантної конструкції легко бачити, що

$?(1-x)=1-?(x).\qquad (2)$

Перетворивши (1) за допомогою (2), бачимо, що під дією відображення $g(x)=1-f(1-x)=1-{\frac {1-x}{2-x}}={\frac {1}{2-x}}$ функція Мінковського перетворюється як

$?\left({\frac {1}{2-x}}\right)={\frac {1+?(x)}{2}}.$

Тому графік функції Мінковського переводиться в себе кожним із перетворень

$F(x,t)=\left({\frac {x}{1+x}},{\frac {t}{2}}\right),\quad G(x,t)=\left({\frac {1}{2-x}},{\frac {1+t}{2}}\right).\qquad (3)$

Більш того, об'єднання їх образів — це точно весь початковий графік, оскільки образ $F$ — це частина графіка над відрізком $[0,1/2]$, а образ $G$ — графік над відрізком $[1/2,1]$.

Побудова графіка як фрактала

Графік функції Мінковського можна побудувати як граничну множину для системи ітераційних функцій. А саме, відображення $F$ і $G$, задані формулами (3), зберігають графік функції Мінковського і переводять одиничний квадрат всередину себе. Тому послідовність множин $X_{n}$, визначена рекурсивно співвідношеннями

$X_{0}=[0,1]\times [0,1],\quad X_{n+1}=F(X_{n})\cup G(X_{n}),$

є спадна за вкладенням послідовність множин, причому графік $\Gamma =\{(x,?(x))\mid x\in [0,1]\}$ функції Мінковського міститься в будь-якій із них.

Неважко помітити, що $X_{n}$ є об'єднанням прямокутників висоти $1/2^{n}$, Тому гранична множина

$X_{\infty }=\bigcap _{n}X_{n}$

є графіком деякої функції. Оскільки $\Gamma \subset X_{\infty }$, то вони збігаються. Тому графік функції Мінковського це гранична множина системи ітераційних функцій

$F,G:[0,1]^{2}\to [0,1]^{2}.$

Властивості

• Функція Мінковського сингулярна, тобто в майже будь-який (за мірою Лебега) точці $x\in [0,1]$ її похідна існує і дорівнює нулю. Тим самим, міра на $[0,1]$, функцією розподілу якої є функція Мінковського (продовжена нулем на від'ємні числа і одиницею на більші одиниці), сингулярна.
• Функція Мінковського взаємно однозначно переводить раціональні числа на відрізку $[0,1]$ у двійково-раціональні числа на тому ж відрізку.
• Функція Мінковського взаємно однозначно переводить квадратичні ірраціональності на відрізку $[0,1]$ у раціональні числа на тому ж відрізку. Дійсно, число $x$ є квадратичною ірраціональністю тоді і тільки тоді, коли його розклад у ланцюговий дріб, починаючи з деякого моменту, періодичний; з іншого боку, ця періодичність рівносильна періодичності двійкового запису образу — іншими словами, раціональності $?(x)$.
• Графік функції Мінковського переводиться в себе відображеннями $F$ і $G$, заданими (3), а, отже, і їх композиціями.

Література

• Minkowski H. Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg. — Berlin, 1904.
• Denjoy A. Sur une fonction réelle de Minkowski. — Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1938. — 17. — pp. 105—151.
• Conley, R. M. (2003), A Survey of the Minkowski ?(x) Function, Masters thesis, West Virginia University, Посилання.
• Conway, J. H. (2000), Contorted fractions, On Numbers and Games (вид. 2nd), Wellesley, MA: A K Peters, с. 82—86.
• Кириллов А. А. Повесть о двух фракталах. — М.: МЦНМО, 2009.

Див. також

• Функція Кантора

Посилання

• Weisstein, Eric W. Minkowski's Question Mark Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.