Формула Діріхле

Формула Дирихле для числа дільників — асимптотична формула

$\sum _{n\leqslant N}\tau (n)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O({\sqrt {N}}),$

де $\tau (n)$ — число дільників $n$, $\gamma$ — постійна Ейлера — Маськероні, а $O$ — O-велике.

Формула була отримана Діріхле в 1849.

Доведення

Доказ негайно випливає з того факту, що вказана сума дорівнює числу цілих точок з цілими позитивними координатами в області, обмеженою гіперболою $yx=N$ та осями координат.

Уточнення

В 1906 році доданок $O\left(N^{\theta }\right)$ був уточнений Серпінським до $O({\sqrt[{3}]{N}})$, тобто $\theta =1/3$. Зараз існують кращі оцінки. Найкращий відомий результат $\theta ={\frac {131}{416}}$ (отримано у 2003 р. Хакслі). Однак, найменше значення $\theta$, при якому ця формула залишиться вірною, невідоме (доведено, що воно не менше, ніж ${\frac {1}{4}}$).

При цьому середній дільник великого числа n в середньому росте як ${\frac {c_{1}n}{\sqrt {\ln n}}}$, що було виявлено А. Карацубою. З комп'ютерних оцінок М. Корольова$c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}}\ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0{,}7138067$.