Формула Бете — Блоха

Формула Бете — Блоха описує енергетичні втрати швидкої зарядженої частинки на іонізацію речовини.

Порівняння формули Бете — Блоха (червона крива) з експериментом для протонів

На одиничному шляху в речовині заряджена частинка зі швидкістю v втрачає

$-{\frac {dE}{dx}}={\frac {4\pi nZ^{2}e^{4}}{mv^{2}}}\left({\text{ln}}\,{\frac {2mv^{2}}{I(1-v^{2}/c^{2})}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)$,

де:

• n — число електронів в одиниці об'єму речовини
• Ze — заряд швидкої частинки
• I — середній потенціал збудження атомів речовини
• c — швидкість світла у вакуумі.

Число електронів у одиничному об'ємі можна оцінити через густину речовини $\rho$

$n={\frac {N_{A}\rho Z_{m}}{M}}$,

де:

• $N_{A}$ — число Авогадро
• $Z_{m}$ — зарядове число атомів речовини
• M — масове число атомів речовини.

Цю формулу отримав у 1930 році Ганс Бете.

Як показав Фелікс Блох, середню енергію іонізації атомів можна приблизно оцінити, як 10 Z_m еВ.

При великих енергіях частинки енергетичні втрати спадають, як $1/v^{2}$. У максимумі вони складають для протонів приблизно 100 МеВ/мм. Оскільки заряджена частинка проникає в речовину з високою енергією й поступово сповільнюється, то енергетичні втрати на іонізацію зростають при збільшенні глибини проникнення. Це призводить до появи так званого бреґґівського піку в радіаційних пошкодженнях. Пошкодження малі у приповерхневих шарах, зростають в глибину, досягаючи максимуму, а потім різко зменшуються, оскільки далі заряджені частинки вже не проникають.

Обмеження

Формула погано працює при малих енергіях заряджених частинок, а також при дуже високих енергіях, де починають грати роль інші процеси.

Використання

Формулу Бете-Блоха можна використати для оцінки довжини пробігу швидкої зарядженої частинки в речовині, концентрації зарядів у треку тощо.