Вікіпедія

Флексагон

Флексагони (від англ. to flex, лат. flectere — складатися, згинатися, гнутися) — пласкі моделі зі смужок паперу, здатні складатися і згинатися певним чином. При складанні флексагона стають видні поверхні (площини), які раніше були приховані в конструкції флексагона, а ті, що були видимі, йдуть всередину.

Гексагексафлексагон
Гексагексафлексагон

Флексагони зазвичай мають квадратну (тетрафлексагони) або шестикутну (гексафлексагони) форму. Додаткова приставка може означати загальне число поверхонь флексагона; наприклад, додекагексафлексагон[1] — флексагон з дванадцятьма («додека») поверхнями, кожна з яких складається з шести («гекса») секторів.

Для відмінності площин флексагона на його сектори наносять цифри, букви, елементи зображення або просто фарбують в певний колір.

Історія ред.

Перший флексагон був відкритий в 1939 році англійським студентом Артуром Стоуном, що вивчав тоді математику в Принстонському університеті в США. Папір формату Letter був надто широким і не вміщувався в швидкозшивач, призначений для паперу формату A4. Стоун обрізав краї паперу і став складати з них різні фігури, одна з яких виявилася трігексафлексагоном[2][3].

Незабаром був створений «Флексагонний комітет», до якого увійшли, крім Стоуна, аспірант-математик Бріан Таккерман, аспірант-фізик Річард Фейнман і викладач математики Джон У. Тьюкі[3].

До 1940 року Фейнман і Тьюкі розробили теорію флексагонів, заклавши тим самим підстави для всіх наступних досліджень. Теорія не була опублікована повністю, хоча окремі її частини згодом були відкриті знову[3]. Напад на Перл-Гарбор призупинив роботу «Флексагонного комітету», а війна незабаром розкидала всіх чотирьох його засновників у різні боки[4].

Популярність флексагони отримали після появи в грудневому номері журналу «Scientific American» за 1956 рік першої колонки Мартіна Гарднера «Mathematical Games», присвяченої гексафлексагонам[5].

Флексагони неодноразово були запатентовані у вигляді іграшок, але не отримали широкого комерційного розповсюдження[6][7].

Приклади ред.

Тригексафлексагон ред.

Гексафлексагон — це флексагон, що має форму правильного шестикутника. Кожна поверхня флексагона складається з шести трикутних секторів.

Тригексафлексагон — гексафлексагон з трьома поверхнями. Це найпростіший з усіх гексафлексагонов (не рахуючи унагексафлексагона і дуогексафлексагона). Він представляє з себе сплющену стрічку Мебіуса[2][4].

Виготовлення тригексафлексагона ред.

Тригексафлексагон можна згорнути зі смужки паперу, розділеної на десять рівносторонніх трикутників, наступним чином[2][8]:

  • Вирізати з паперу стрічку шириною в 4-7 см і розмітити з двох сторін згідно малюнку:
 
Розгортка тригексафлексагона(з двох сторін)
  • Перегнути стрічку по кожній з ліній в обидві сторони і знову розігнути.
  • Перегнути стрічку по лініях a — b і c — d так, щоб сектори з «двійками» поєдналися один з одним:
 
Виготовлення тригексафлексагона
  • Перегнути стрічку по лінії e — f так, щоб поєдналися останні дві «двійки».
  • Намазати клеєм сектори, помічені зірочкою, і склеїти їх:
 
Тригексафлексагон

Метод складання ред.

 
Схематичне зображення гексафлексагона з позначеннями кутів і центру

Складання тригексафлексагона здійснюється наступним чином[2][8][9].

Модель двома пальцями правої руки за кут D. Ліва частина моделі згинається двома пальцями лівої руки по лінії AO від себе так, щоб із зворотного боку трикутники ABO і AFO поєдналися. Утворюється «пірамідка з хвостом — клапаном».

Потім кут D поєднується ззаду з кутами B і F. У цей момент точки B, F, D знаходяться прямо за точкою O.

Після цього конструкція розкривається спочатку по лінії COE (при цьому точка O йде праворуч), а потім по лінії AO.

Цей метод складання носить назву pinch flex[10].

Для почергового перегляду всіх трьох площин тригексафлексагона досить повторювати описану послідовність дій, після кожного разу повертаючи модель на 60°.

Гексагексафлексагон ред.

Гексагексафлексагон — флексагон з шістьма шестикутними поверхнями[1][9][11].

Гексагексафлексагон можна виготовити із смужки довжиною в 19 трикутників. Виготовлення та складання флексагона показано на фотографії.

 
Виготовлення і розкриття гексагексафлексагона

Шлях Таккермана ред.

 
Діаграма шляху Таккермана

Простий спосіб виявити всі поверхні гексафлексагона — обхід Таккермана — полягає в тому, щоб тримати флексагон за один кут і розкривати модель до тих пір, поки вона не перестане розкриватися, потім повернути флексагон на 60° за годинниковою стрілкою, взятися за сусідній кут і повторити те ж саме[9][11].

При обході Таккермана площини гексагексафлексагону будуть розкриватися в порядку: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (або в зворотному порядку), після чого послідовність повториться. Цю послідовність називають шляхом Таккермана[9][11].

Види флексагонів ред.

Найменування флексагонів ред.

Поверхні флексагона можуть складатися з рівносторонніх або рівнобедрених трикутників, квадратів, п'ятикутників тощо. Флексагон може допускати появу певного числа поверхонь; деякі з них можуть бути аномальними (тобто включають в себе сектори з різними цифрами). Флексагон заданої форми із заданою кількістю площин може бути виготовлений з різних розгорток. Більш того, навіть одна й та ж розгортка може допускати різні варіанти згортання[4][12].

Загальноприйнятої системи найменувань для флексагонов немає. Мартін Гарднер використовував терміни «тетрафлексагон» і «гексафлексагон» для позначення флексагонов, що складаються з квадратів і трикутників відповідно, причому поверхні тетрафлексагона могли складатися з чотирьох або шести квадратів[4]. У книзі Flexagons Inside Out флексагони позначаються за формою секторів (квадратний, п'ятикутний тощо)[13][14]

У більш пізній час — і додекафлексагонамі стали називати флексагони з 8 і 12 трикутними секторами відповідно[12]. Якщо сектори поверхонь флексагона являють собою правильні або трикутник, то крім гексафлексагонів існують трикутні тетра-, пента-, гептил-, октафлексагони[14].

У журналах «Наука і життя» використовувалася в основному система префіксів IUPAC[15][16][17][18].

Гексафлексагони ред.

Гексафлексагон — це флексагон, що має форму правильного шестикутника. Кожна поверхня флексагона складається з шести трикутних секторів.

Існує безліч гексафлексагонов, що різняться за кількістю поверхонь. Відомі гексафлексагони з трьома, чотирма, п'ятьма, шістьма, сім'ю, дев'ятьма, дванадцятьма, п'ятнадцятьма, сорока вісьмома площинами; кількість площин обмежено лише тим, що папір має ненульову товщину[1][2][4][8][11].

Починаючи з гексагексафлексагону, кількість різних гексафлексагонів з однією і тією ж самою кількістю поверхонь стає більше 1: існує 3 гексагексафлексагони, 4 гептагексафлексагони, 12 октафлексагонів, 27 еннагексафлексагонів і 82 декагексафлексагони[4][19].

Тетрафлексагони ред.

  Зовнішні відеофайли
Флексагони
  7 sided square tetraflexagon Scott Sherman

Найпростіший тетрафлексагон (флексагон з квадратними поверхнями) — тритетрафлексагон, що має три поверхні. У будь-який момент видно лише дві з трьох поверхонь.

Більш складні гексатетрафлексагон і декатетрафлексагон збираються з хрестоподібної розгортки без використання клею[15]. Тетрафлексагони з числом площин 4n + 2 також можна виготовляти з квадратних рамок[4].

З зигзагоподібних смужок паперу можна виготовити тетратетрафлексагон та інші тетрафлексагони з числом площин, яке кратно 4[20].

Кільцеві флексагони ред.

Кільцевій флексагон — флексагон, поверхня якого являє собою «кільце» з багатокутників. Для найменування кільцевих флексагонов може бути використаний префікс «цирко», наприклад, пентациркодекафлексагон — кільцевий флексагон з п'ятьма площинами, що складаються з десяти багатокутників (п'ятикутників) кожна[21]; тригеміциркогексафлексагон — флексагон з трьома поверхнями, кожна з яких являє собою кільце (цирко) із половинок (гемі) правильних шестикутників (гекса)[17].

Методи складання («флекси») ред.

Гексафлексагони ред.

  Зовнішні відеофайли
Флексагони
(Методи складання)
  5 sided Hexaflexagon Scott Sherman Flexagons. Демонстрація «флексів» на прикладі пентагексафлексагону.

Описаний вище метод складання гексафлексагону, що використовували для обходу всіх площин (обходу Таккермана), носить назву pinch flex[10]. Існують наступні методи складання гексафлексагонов :

  • pinch flex[10] (виконується на гексафлексагонах з трьома і більше площинами)
  • v-flex[22][23] (виконується на гексафлексагонах з чотирма і більше площинами)
  • tuck flex[24], «лодочка-гексаедр»[9] (виконується на гексафлексагонах з чотирма площинами і більше).

Аномалії ред.

Площина флексагона (сукупність секторів), на якій присутні різні цифри, називається аномальною площиною, а флексагон з видимою аномальною площиною (в аномальному положенні) — аномальним флексагоном[9][11][25]. Поява аномальних площин можлива на флексагонах досить високого порядку, наприклад, на гексагексафлексагоні[9], додекагексафлексагоні[25]. Найпростішим гексафлексагоном, що допускає появу аномалій, є тетрагексафлексагон[21]. Для досягнення аномальних площин використовуються методи складання, відмінні від «стандартного» pinch flex[9].

Див. також ред.

та ін.[26]

Примітки ред.

  1. ↑ а б в Наука и жизнь, 1970, №3
  2. ↑ а б в г д Наука и жизнь, 1970, №1
  3. ↑ а б в Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline The story of the Flexagon
  4. ↑ а б в г д е ж Мартин Гарднер, Математические головоломки и развлечения
  5. ↑ Martin Gardner's Collections of «Mathematical Games» Columns. Muppetlabs
  6. ↑ Rogers, Russell E.; Andrea, Leonard D. L. (21 квітня 1959). Changeable amusement devices and the like (PDF). Freepatentsonline.com. U.S. Patent 2883195. Архів оригіналу (PDF) за 13 серпня 2013. Процитовано 27 травня 2014.
  7. ↑ Patents
  8. ↑ а б в Mathematische Basteleien Flexagons
  9. ↑ а б в г д е ж и Наука и жизнь, 1977, №2
  10. ↑ а б в Scott Sherman The Pinch Flex
  11. ↑ а б в г д Наука и жизнь, 1970, №2
  12. ↑ а б Scott Sherman Flexagon Naming and Terminology
  13. ↑ Les Pook, Flexagons Inside Out
  14. ↑ а б Scott Sherman Triangle Flexagon Bestiary
  15. ↑ а б Наука и жизнь, 1975, №9
  16. ↑ Наука и жизнь, 1992, №4
  17. ↑ а б Наука и жизнь, 1993, №11
  18. ↑ Наука и жизнь, 1993, №12
  19. ↑ послідовність A000207 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS The number of hexaflexagons of order n+2
  20. ↑ Наука и жизнь, 1972, №3
  21. ↑ а б Наука и жизнь, 1977, № 8
  22. ↑ Flexagon Portal v-flex video
  23. ↑ Scott Sherman The V flex
  24. ↑ Scott Sherman The Tuck Flex
  25. ↑ а б Квант, 1992, №10
  26. ↑ Scott Sherman Triangle Flexagon Flexes

Джерела ред.

Книги ред.

Статті ред.

  • А. А. Панов. Флексагоны, флексоры, флексманы // Квант. — 1988. — № 7. — С. 10—14.
  • И. Кан. Аномальные флексагоны // Квант. — 1992. — № 10. — С. 57—59.
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 1. — С. 124—125. Тригексафлексагон
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 2. — С. 68—69. Гексагексафлексагон, путь Таккермана
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 3. — С. 154—155. Другие гексафлексагоны
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 8. — С. 149. Переписка с читателями
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. — № 3. — С. 142—143. Тетрафлексагоны
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. — № 4. — С. 107. Флексотрубка Стоуна
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. — № 7. — С. 154—155. Флексотрубка Стоуна (продолжение)
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. — № 9. — С. 121—123. Гексатетрафлексагон, декатетрафлексагон, приставки IUPAC
  • И. Константинов. Флексагонными тропами // Наука и жизнь. — 1977. — № 2. — С. 92—96, V. Туннельный перевод
  • Флексагоны // Наука и жизнь. — 1977. — № 8. — С. 98—99. Пространственные модели диаграмм перевода. Пентациркодекафлексагон
  • И. Кан. Гемитетрафлексагоны // Наука и жизнь. — 1992. — № 4. — С. 126—127. Гемитетрафлексагоны
  • И. Кан. Гемитетра- и гемигексафлексагоны // Наука и жизнь. — 1993. — № 11. — С. 150—152.
  • И. Кан. Треугольные флексагоны // Наука и жизнь. — 1993. — № 12. — С. 42—43.

Посилання ред.

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Флексагон
  • Harold V. McIntosh, Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline (1962,2000,2003). Flexagons [Статті по флексагонам у форматі PDF] (англ.). Архів оригіналу за 13 серпня 2013. Процитовано 30 липня 2013.
  • Harold V. McIntosh. My Flexagon Experiences (англ.). Архів оригіналу за 13 серпня 2013. Процитовано 30 липня 2013.
Отримано з https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Флексагон&oldid=40712288