Факторіальне кільце

Факторіа́льне кільце́ — область цілісності $R$, в якій кожен необоротний елемент $a$ представляється у вигляді добутку незвідних елементів $a=p_{1}\cdot \dots \cdot p_{n}\ (n\geq 1)$, причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо $p_{1}\cdot \dots \cdot p_{n}\ =q_{1}\cdot \dots \cdot q_{m},$ то $m=n,$ і після перенумерації маємо $p_{i}=u_{i}q_{i}$ для всіх $i$, де $u_{i}$ — оборотний елемент кільця $R$ (такі елементи називаються асоційованими). Самі елементи $p_{i}$ можуть бути теж асоційованими і навіть рівними.

Приклади

• Будь-яке кільце головних ідеалів, зокрема Евклідове кільце, є факторіальним кільцем. Зокрема, таким прикладом є кільце цілих чисел.
• Довільне поле є, очевидно, факторіальним кільцем, оскільки в ньому немає необоротних елементів.
• Формальні степеневі ряди $K[[X_{1},\dots ,X_{n}]]$ над полем $K$ утворюють факторіальне кільце.
• Кільце $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ всіх комплексних чисел виду $a+ib{\sqrt {5}}$, де a і b — цілі числа, не є факторіальним. Наприклад $6=2\cdot 3=\left(1+i{\sqrt {5}}\right)\left(1-i{\sqrt {5}}\right)$. Числа 2, 3, $1+i{\sqrt {5}}$, і $1-i{\sqrt {5}}$ не є асоційовані і є незвідними.
• Згідно теореми Аусландера — Бухсбаума, кожне регулярне локальне кільце є факторіальним.

Властивості

• Довільний незвідний елемент факторіального кільця є простим.

Нехай $p$ — незвідний елемент факторіального кільця $D$. Тоді $p$ є необоротним. Якщо $ab\in (p)\smallsetminus \{0\}$, тоді $ab=cp,$ де $c\in D$. Елементи $a,\,b,\,c$ можна записати як добутки незвідних елементів:

$\displaystyle a\;=\;p_{1}\cdots p_{l},\quad b\;=\;q_{1}\cdots q_{m},\quad c\;=\;r_{1}\cdots r_{n}.$

Тоді $\displaystyle p_{1}\cdots p_{l}\,q_{1}\cdots q_{m}\;=\;r_{1}\cdots r_{n}\,p.$

Оскільки $D$ є факторіальним кільцем то кожен елемент у добутку справа є рівним добутку одного із $l+m$ незвідних елементів з лівої сторони, тобто $p_{i}$ або $q_{j}$ і оборотного елемента. Відповідно або $a\in (p)$ або $b\in (p)$. Тобто $(p)$ є простим ідеалом $D$ і $p$ є простим елементом.

• Якщо R є факторіальним кільцем, то і кільце многочленів R[x] є факторіальним. Звідси випливає, що і кільце R[x₁...x_n] є факторіальним.
• Кільце R є факторіальним тоді і тільки тоді коли довільний його простий ідеал містить простий елемент.
• Якщо у області цілісності $D$ існує множина простих елементів $a_{i},\ i\in E,$ таких, що кожен елемент із $D$ є добутком деяких елементів $a_{i}$ і оборотного елемента, то $D$ є факторіальним кільцем.

Оскільки $D$ є областю цілісності, то всі $a_{i}$ є незвідними елементами і кожен незвідний елемент із $D$ є добутком якогось одного елемента $a_{i}$ і оборотного елемента. З умови кожен елемент $D$ є добутком незвідних елементів. Якщо $p_{1}\ldots p_{n}=q_{1}\ldots q_{m},$ то кожен з $p_{j}$ є добутком якогось із $a_{i}$ і оборотного елемента. Оскільки $a_{i}$ є простим елементом, що ділить добуток, то $a_{i}$ ділить якийсь із $q_{k}.$ Але $q_{k}=a_{m}u,$ де $u$ — оборотний елемент. Тому $a_{i}$ ділить $a_{m}.$ Також $a_{m}u=q_{k}=a_{i}c,$ і тому також $a_{m}$ ділить $a_{i}$ ($a_{m}$ є простим і має ділити $a_{i}$ або $c$, в останньому випадку $a_{i}$ був би оборотним, що неможливо). Тому $a_{i}$ і $a_{m}$, а тому $p_{j}$ і $q_{k}$ відрізняються лише добутком на оборотний елемент. Скорочуючи і продовжуючи процес отримуємо, що $D$ є факторіальним кільцем.

• Локалізація факторіального кільця по довільній мультиплікативній системі є факторіальним кільцем.

Нехай $a\in D$ — незвідний елемент факторіального кільця. Якщо $aD\cap S=\emptyset ,$ то $aS^{-1}D$ є простим ідеалом у $S^{-1}D,$ а тому $a/1\in S^{-1}D$ є простим елементом. Із попереднього достатньо довести, що кожен ненульовий елемент $S^{-1}D,$ є добутком таких елементів і оборотного елемента.

Спершу зауважимо, що якщо $aD\cap S\neq \emptyset ,$ то $a/1\in S^{-1}D$ є оборотним елементом. Якщо $ad=t\in S,$ то оберненим елементом буде $d/t.$

Нехай $b/s\in S^{-1}D.$ Якщо $b=a_{1}\ldots a_{n}$ є розкладом b у добуток незвідних елементів, то $b/1=a_{1}/1\ldots a_{n}/1$ є розкладом b/1 у добуток незвідних і оборотних елементів.

Тоді $b/s=a_{1}/1\ldots a_{n}/1\cdot 1/s$ дає необхідний результат оскільки 1/s є оборотним елементом.

• Теорема Нагати. Нехай $D$ є областю цілісності, $a_{i},\ i\in E$ — деяка множина простих елементів і S — мультиплікативна множина елементами якої є скінченні добутки скінченних кількостей елементів $a_{i}$(добуток пустої множини вважається рівним 1). Нехай $a_{i}$ задовольняють умову: для кожного елемента $b\in D$ існують $s\in S,b'\in D$ для яких b = sb' і b' не належить жодному із головних ідеалів $(a_{i}).$ Тоді якщо локалізація $S^{-1}D$ то і $D$ є факторіальним кільцем. Вказана умова, зокрема, виконується для всіх нетерових кілець або кілець всі ненульові елементи яких є добутками незвідних елементів.

Некомутативний випадок

Хоч термін «Факторіальне кільце» використовується переважно для комутативних кілець, подане вище означення можна узагальнити для некомутативного випадку.

Нехай R — деяке кільце, що не має дільників нуля. Дане кільце називається факторіальним, якщо довільний необоротний елемент a представляється у вигляді добутку незвідних елементів a=p₁·...·p_n (n≥1) причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо p₁·...·p_n=q₁·...·q_m, то m=n і після перенумерації маємо, що фактор-кільця $R/p_{i}R$ і $R/q_{i}R$ є ізоморфними.

Приклад

Множина кватерніонів a = a₀ + a₁i + a₂j + a₃k, де a₀, a₁, a₂, a₃ — цілі числа або непарні цілі числа поділені на 2 є некомутативним факторіальним кільцем.

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Бондаренко Є.В. (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
• Peskine, Christian (2009). An Algebraic Introduction to Complex Projective Geometry: Commutative Algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 9780521108478.
• David Sharpe (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6.
• R. Sivaramakrishnan (2006). Certain number-theoretic episodes in algebra. CRC Press. ISBN 0-8247-5895-1