Умовний розподіл

Умовний розподіл у теорії ймовірностей — це розподіл випадкової величини за умови, що інша випадкова величина набуває визначене значення.

Визначення

Передбачимо, що задано ймовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$.

Дискретні випадкові величини

Нехай $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ і $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ — випадкові величини, такі, що випадковий вектор $(X,y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ має дискретний розподіл, що задається функцією ймовірностей $p_{X,y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$. Нехай $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ такий, що $\mathbb {P} (Y=y_{0})>0$. Тоді функція

$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,y}(x,y_{0}) \over p_{y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}$,

де $p_{Y}$ - функція ймовірностей випадкової величини $Y$, називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини $X$ за умови, що $Y=y_{0}$. Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.

Абсолютно неперервні випадкові величини

Нехай $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ и $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ - випадкові величини, такі що випадковий вектор $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ має абсолютно неперервний розподіл, який задається щільностю ймовірностей $f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$. Нехай $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ таке, що $f_{Y}(y_{0})>0$, де $f_{Y}$ - щільність випадкової величини $Y$. Тоді функція

$f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}$

називається умовною щільностю ймовірності випадкової величини $X$ за умови, що $Y=y_{0}$. Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.

Властивості умовних розподілів

• Умовні функції ймовірності і умовна щільність ймовірності є функціями ймовірності і щільністю ймовірності відповідно, тобто вони задовольняють всім необхідним умовам. Зокрема

• $p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$,
• $\sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$,

і

• $f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0$ майже усюди на $\mathbb {R} ^{m+n}$,
• $\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$,

• Справедливі формули повної ймовірності:

• $p_{X}(x)=\sum \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)$,
• $f_{X}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,dy$.

• Якщо випадкові величини $X$ і $Y$ незалежні то умовний розподіл дорівнює безумовному:

$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{x}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}$

або

$f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=f_{x}(x)$ майже усюди на $\mathbb {R} ^{m}$.

Умовні ймовірності

Дискретні випадкові величини

Якщо $A$ - зліченна підмножина $\mathbb {R} ^{m}$, то

$\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})$.

Абсолютно неперервні випадкові величини

Якщо $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})$ - борелівська підмножина $\mathbb {R} ^{m}$, то припускаємо за визначенням

$\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx$.

Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки $\mathbb {P} (Y=y_{0})=0$.

Умовні математичні сподівання

Дискретні випадкові величини

• Умовне математичне сподівання випадкової величини $X$ за умови $Y=y_{0}$ виходить підсумовуванням щодо умовного розподілу:

$\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\ p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})$.

• Умовне математичне сподівання $X$ за умови випадкової величини $Y$ - це третя випадкова величина $\mathbb {E} [X\mid Y]$, що задається рівністю

$\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega$.

Абсолютно неперервні випадкові величини

• Умовне математичне сподівання випадкової величини $X$ за умови $Y=y_{0}$ виходить інтеграцією щодо умовного розподілу:

$\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx$.

• Умовне математичне сподівання $X$ за умови випадкової величини $Y$ - це третя випадкова величина $\mathbb {E} [X\mid Y]$, що задається рівністю

$\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega$.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. — Springer Verlag 2004. — ISBN 9781852337810
• Williams D. Probability with Martingales/ — Cambridge University Press, 1991/ — ISBN 0-521-40605-6