Третя похідна

У диференційному численні, третя похідна чи похідна третього порядку — це швидкість, з якою змінюється друга похідна, або швидкість зміни швидкості зміни, яка використовується, насамперед, для визначення відхилення. Третя похідна функції $f(x)=y$ можна позначати через:

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad f'''(x),\quad {\text{or }}{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)].$

Перераховані вище позначення є найбільш поширеними.

Позначення

Нехай $f(x)$ — функція деякої змінної х. Тоді третя похідна від $f(x)$ задається наступним чином: $f'''(x)$.

У Нотації Лейбніца: ${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]={\frac {d}{dx}}[f''(x)]$.

Приклад

Нехай $f(x)=x^{4}$. Тоді $f'(x)=4x^{3}$ та $f''(x)=12x^{2}$. Тому, третя похідна від f(x):

$f'''(x)=24x$

У Нотації Лейбніца:

${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[x^{4}]=24x$

Застосування у геометрії

У диференціальній геометрії скрут кривої - основна властивість кривої у тривимірному просторі. Скрут кривої обчислюється за допомогою третіх похідних координатних функцій (або вектора положення), що описують криву.

Застосування у фізиці

У фізиці, насамперед у кінематиці, ривок визначається як третя похідна від радіус-вектору об'єкта. Це швидкість, з якою змінюється прискорення. Формула ривку:

$\mathbf {j} (t)={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}$

де j ( t ) - функція ривка відносно часу, а r ( t ) - позиційна функція об'єкта відносно часу.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)