Теорема про бісектрису — теорема планіметрії , яка пов'язує довжини відрізків, на які бісектриса ділить сторону, до якої вона проведена, та довжини прилеглих сторін даного трикутника .
Бісектриса трикутника ділить сторону, до якої вона проведена, на відрізки, пропорційні прилеглим до них сторонам, тобто B D D C = A B A C {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}} .
Справедлива і обернена теорема: якщо на стороні B C {\displaystyle BC} трикутника A B C {\displaystyle ABC} обрано точку D {\displaystyle D} так, що B D D C = A B A C {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}} , то відрізок A D {\displaystyle AD} — бісектриса кута ∠ A {\displaystyle \angle A} трикутника A B C {\displaystyle ABC} . Це можна легко довести методом від супротивного .
Доведення (методом пропорційних відрізків)
ред.
Ілюстрація доведення теореми про бісектрису (методом пропорційних відрізків) Нехай дано трикутник A B C {\displaystyle ABC} , A D {\displaystyle AD} — бісектриса кута ∠ A {\displaystyle \angle A} . Через точку B {\displaystyle B} проведемо пряму, паралельну прямій A D {\displaystyle AD} і нехай проведена пряма перетинає пряму A C {\displaystyle AC} в точці E {\displaystyle E} .
На зображенні кути 2 {\displaystyle 2} та 3 {\displaystyle 3} рівні як внутрішні різносторонні при паралельних прямих A D {\displaystyle AD} і B E {\displaystyle BE} та січній A B {\displaystyle AB} ; кути 1 {\displaystyle 1} та 4 {\displaystyle 4} рівні як відповідні при паралельних прямих A D {\displaystyle AD} і B E {\displaystyle BE} та січній A E {\displaystyle AE} . Проте кути 1 {\displaystyle 1} та 2 {\displaystyle 2} рівні, оскільки A D {\displaystyle AD} — бісектриса кута ∠ A {\displaystyle \angle A} . Звідси маємо, що всі кути 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} та 4 {\displaystyle 4} рівні між собою. Звідси маємо, що трикутник A B E {\displaystyle ABE} рівнобедрений , тобто A E = A B {\displaystyle AE=AB} .
За теоремою про пропорційні відрізки маємо: C D A C = D B A E {\displaystyle {\frac {CD}{AC}}={\frac {DB}{AE}}} . Але A E = A B {\displaystyle AE=AB} , тому C D A C = D B A B {\displaystyle {\frac {CD}{AC}}={\frac {DB}{AB}}} , звідки остаточноB D D C = A B A C {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}} . Теорему доведено.
Доведення (методом площ)
ред.
Ілюстрація доведення теореми про бісектрису (методом площ) Нехай дано трикутник A B C {\displaystyle ABC} , A D {\displaystyle AD} — бісектриса кута ∠ A {\displaystyle \angle A} . Знайдемо площі трикутників A B D {\displaystyle ABD} та A D C {\displaystyle ADC} . Для цього скористаємося двома формулами для знаходження площ:
S = 1 2 a h a {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}} , де a {\displaystyle a} — сторона трикутника, а h a {\displaystyle h_{a}} — висота, опущена на цю сторону;
S = 1 2 b c sin α {\displaystyle S={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha } , де b {\displaystyle b} та c {\displaystyle c} — сторони трикутника, α {\displaystyle \alpha } — кут між цими сторонами.
З першої формули маємо, що S A B D = 1 2 B D ⋅ A E {\displaystyle S_{ABD}={\frac {1}{2}}BD\cdot AE} , а S A D C = 1 2 C D ⋅ A E {\displaystyle S_{ADC}={\frac {1}{2}}CD\cdot AE} , де A E {\displaystyle AE} — висота трикутника A B C {\displaystyle ABC} , яка є також і висотою трикутників A B D {\displaystyle ABD} та A D C {\displaystyle ADC} . Звідси S A B D S A D C = 1 2 B D ⋅ A E 1 2 C D ⋅ A E = B D D C {\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {{\frac {1}{2}}BD\cdot AE}{{\frac {1}{2}}CD\cdot AE}}={\frac {BD}{DC}}} .
З другої формули отримуємо, що S A B D = 1 2 A B ⋅ A D sin ∠ B A D {\displaystyle S_{ABD}={\frac {1}{2}}AB\cdot AD\sin \angle BAD} та S A D C = 1 2 A C ⋅ A D sin ∠ D A C {\displaystyle S_{ADC}={\frac {1}{2}}AC\cdot AD\sin \angle DAC} . Звідси S A B D S A D C = 1 2 A B ⋅ A D sin ∠ B A D 1 2 A C ⋅ A D sin ∠ D A C = A B sin ∠ B A D A C sin ∠ D A C {\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {{\frac {1}{2}}AB\cdot AD\sin \angle BAD}{{\frac {1}{2}}AC\cdot AD\sin \angle DAC}}={\frac {AB\sin \angle BAD}{AC\sin \angle DAC}}} . Оскільки A D {\displaystyle AD} — бісектриса кута ∠ A {\displaystyle \angle A} , то ∠ B A D = ∠ D A C {\displaystyle \angle BAD=\angle DAC} , звідки sin ∠ B A D = sin ∠ D A C {\displaystyle \sin \angle BAD=\sin \angle DAC} , а тому остаточно S A B D S A D C = A B A C {\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {AB}{AC}}} .
Вище доведено, що S A B D S A D C = B D D C {\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {BD}{DC}}} та S A B D S A D C = A B A C {\displaystyle {\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {AB}{AC}}} , а тому B D D C = A B A C {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}} . Теорему доведено.
Узагальнення теореми
ред.
Якщо пряма A D {\displaystyle AD} не обов'язково є бісектрисою, то з вище викладених міркувань випливає, що B D D C = A B sin ∠ B A D A C sin ∠ D A C {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB\sin \angle BAD}{AC\sin \angle DAC}}} .
Література
ред.
Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 240 с. ISBN 978-966-474-012-5