Теорема про бісектрису

Теорема про бісектрису — теорема планіметрії, яка пов'язує довжини відрізків, на які бісектриса ділить сторону, до якої вона проведена, та довжини прилеглих сторін даного трикутника.

Бісектриса трикутника ділить сторону, до якої вона проведена, на відрізки, пропорційні прилеглим до них сторонам, тобто ${\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}$.

Справедлива і обернена теорема: якщо на стороні $BC$ трикутника $ABC$ обрано точку $D$ так, що ${\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}$, то відрізок $AD$ — бісектриса кута $\angle A$ трикутника $ABC$. Це можна легко довести методом від супротивного.

Доведення (методом пропорційних відрізків)

Ілюстрація доведення теореми про бісектрису (методом пропорційних відрізків)

Нехай дано трикутник $ABC$, $AD$ — бісектриса кута $\angle A$. Через точку $B$ проведемо пряму, паралельну прямій $AD$ і нехай проведена пряма перетинає пряму $AC$ в точці $E$.

На зображенні кути $2$ та $3$ рівні як внутрішні різносторонні при паралельних прямих $AD$ і $BE$ та січній $AB$; кути $1$ та $4$ рівні як відповідні при паралельних прямих $AD$ і $BE$ та січній $AE$. Проте кути $1$ та $2$ рівні, оскільки $AD$ — бісектриса кута $\angle A$. Звідси маємо, що всі кути $1$, $2$, $3$ та $4$ рівні між собою. Звідси маємо, що трикутник $ABE$ рівнобедрений, тобто $AE=AB$.

За теоремою про пропорційні відрізки маємо: ${\frac {CD}{AC}}={\frac {DB}{AE}}$. Але $AE=AB$, тому ${\frac {CD}{AC}}={\frac {DB}{AB}}$, звідки остаточно${\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}$. Теорему доведено.

Доведення (методом площ)

Ілюстрація доведення теореми про бісектрису (методом площ)

Нехай дано трикутник $ABC$, $AD$ — бісектриса кута $\angle A$. Знайдемо площі трикутників $ABD$ та $ADC$. Для цього скористаємося двома формулами для знаходження площ:

$S={\frac {1}{2}}ah_{a}$, де $a$ — сторона трикутника, а $h_{a}$ — висота, опущена на цю сторону;

$S={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha$, де $b$ та $c$ — сторони трикутника, $\alpha$ — кут між цими сторонами.

З першої формули маємо, що $S_{ABD}={\frac {1}{2}}BD\cdot AE$, а $S_{ADC}={\frac {1}{2}}CD\cdot AE$, де $AE$ — висота трикутника $ABC$, яка є також і висотою трикутників $ABD$ та $ADC$. Звідси ${\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {{\frac {1}{2}}BD\cdot AE}{{\frac {1}{2}}CD\cdot AE}}={\frac {BD}{DC}}$.

З другої формули отримуємо, що $S_{ABD}={\frac {1}{2}}AB\cdot AD\sin \angle BAD$ та $S_{ADC}={\frac {1}{2}}AC\cdot AD\sin \angle DAC$. Звідси ${\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {{\frac {1}{2}}AB\cdot AD\sin \angle BAD}{{\frac {1}{2}}AC\cdot AD\sin \angle DAC}}={\frac {AB\sin \angle BAD}{AC\sin \angle DAC}}$. Оскільки $AD$ — бісектриса кута $\angle A$, то $\angle BAD=\angle DAC$, звідки $\sin \angle BAD=\sin \angle DAC$, а тому остаточно ${\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {AB}{AC}}$.

Вище доведено, що ${\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {BD}{DC}}$ та ${\frac {S_{ABD}}{S_{ADC}}}={\frac {AB}{AC}}$, а тому ${\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}$. Теорему доведено.

Узагальнення теореми

Якщо пряма $AD$ не обов'язково є бісектрисою, то з вище викладених міркувань випливає, що ${\frac {BD}{DC}}={\frac {AB\sin \angle BAD}{AC\sin \angle DAC}}$.

Література

• Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 240 с.  ISBN 978-966-474-012-5