Теорема Фробеніуса

Теорема Фробеніуса — теорема, що описує основні алгебри з діленням.

Ця теорема сформульована німецьким математиком Фердинандом Георгом Фробеніусом в 1878 році.

Формулювання теореми

Довільна альтернативна алгебра з діленням ізоморфна одній з чотирьох алгебр:

1. дійсних чисел
2. комплексних чисел
3. кватерніонів
4. октоніонів

Доведення

Якщо $\ {\mathcal {A}}$ — альтернативна алгебра з діленням, то доводяться її властивості:

• Алгебра $\ {\mathcal {A}}$ має одиницю.

• Якщо елемент $\mathbf {a} \in {\mathcal {A}}$ і не пропорційний $\mathbf {1} ,$ то сукупність $\ {\mathcal {K}}_{a}$ елементів виду $\alpha \mathbf {1} +\beta \mathbf {a} ,$ утворює підалгебру, ізоморфну алгебрі комплексних чисел.

• Якщо елементи $\mathbf {a_{1},a_{2}} \in {\mathcal {A}}$ не належать одній підалгебрі $\ {\mathcal {K}}_{a},$ то сукупність $\ {\mathcal {Q}}_{a_{1}a_{2}},$ елементів виду $\alpha \mathbf {1} +\beta \mathbf {a_{1}} +\gamma \mathbf {a_{2}} +\delta \mathbf {a_{1}a_{2}} ,$ утворює підалгебру ізоморфну алгебрі кватерніонів.

• …

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)