Теорема Тевенена

Теорема Тевенена (теорема Тевеніна, теорема Тевеніна — Гельмгольца^[1]) — твердження про те, що будь-яке джерело можна еквівалентно замінити послідовно з'єднаними ідеальним джерелом напруги та внутрішнім опором; двоїсте твердження до теореми Нортона^[en] про еквівалентну заміну довільного кола на паралельно з'єднані ідеальне джерело струму та внутрішній опір.

Вперше сформулював Герман фон Гельмгольц 1853 року і, незалежно від нього, французький інженер-електрик Леон Шарль Тевенен 1883 року^[2].

Формулювання

Для нелінійних електричних кіл теорема стверджує, що будь-яке електричне коло, що має два виводи і складається з довільної комбінації джерел напруги, джерел струму і резисторів (опорів), електрично для цих двох виводів еквівалентне колу з одним ідеальним джерелом напруги з ЕРС $V$ та одним резистором $R$ , з'єднаним послідовно із цим джерелом напруги.

Інакше кажучи, струм у будь-якому опорі $Z_{n}$ , приєднаному до одного з вибраних кіл, дорівнює струму в цьому самому опорі $Z_{n}$ , приєднаному до ідеального джерела напруги з напругою, що дорівнює напрузі холостого ходу кола (напрузі на цих затискачах коли до них нічого не підключено), і внутрішнім опором $Z_{i}$ , рівним повному опору зовнішнього кола, визначеному з боку затискачів $Z_{n}$ за умови, що всі джерела всередині ланцюга замінено повними опорами, рівними повним внутрішнім опорам цих джерел.

Тобто, експериментально, параметри еквівалентної заміни «чорної скриньки» з двома виводами визначаються з двох вимірів — досліду холостого ходу та досліду короткого замикання. Нехай напруга на затискачах (виводах) за холостого ходу буде $V,$ а струм короткого замикання цих затискачів $I,$ тоді:

V_{th}=V

і

R_{th}=V/I

де

V_{th}

— ЕРС ідеального джерела напруги в еквівалентній заміні,

R_{th}

— опір резистора, увімкненого послідовно з джерелом у еквівалентній заміні.

Якщо відома структура та параметри деякого кола, формально можна обчислити параметри еквівалентної заміни. При цьому для визначення еквівалентного опору всі ідеальні джерела напруги, що входять у коло, подумки закорочуються і обчислюється опір отриманого кола між затискачами, що розглядаються. Далі, користуючись, наприклад, правилами Кірхгофа обчислюється напруга на затискачах. Отримані опір та напруга якраз і будуть параметрами еквівалентної заміни.

Теорема також застосовна для ланцюгів синусоїдального змінного струму в усталеному режимі, але при цьому враховуються не активні опори, струми і напруги, а, відповідно, імпеданси і комплексні амплітуди струмів і напруг.

Обчислення параметрів еквівалентного джерела

1. ЕРС еквівалентного джерела обчислюють у режимі холостого ходу, тобто знаходять напругу між точками А і В без підключеного навантаження.

2. Внутрішній опір еквівалентного джерела можна визначити двома способами.

2.1. Усі джерела ЕРС у колі замінюють закороченням, усі джерела струму — розривом кола. Знаходять опір кола між точками А і В. Цей опір дорівнюватиме внутрішньому опору еквівалентного джерела.

2.2. Точки А та В закорочують і знаходять струм короткого замикання. Внутрішній опір еквівалентного джерела обчислюють як відношення ЕРС, знайденої в п. 1 до струму короткого замикання.

Приклад обчислення параметрів еквівалентної заміни

Початкове електричне коло
Обчислення еквівалентної ЕРС
Обчислення опору еквівалентного резистора - джерело напруги подумки закорочено
Результат еквівалентної заміни

Обчислення еквівалентної напруги (ЕРС) — напруга, що знімається з резистивного подільника напруги, складеного з опорів $R_{4},R_{3},R_{2}$ , оскільки розраховуємо режим холостого ходу, струм через резистор $R_{1}=0$ і падіння напруги на ньому нульове:

V_{\mathrm {Th} }={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }=

={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega  \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} =

={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} .

Обчислення еквівалентного опору, джерело напруги закорочено:

R_{\mathrm {Th} }=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]=

=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]=

=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .

Тут символом $\|$ позначено опір паралельного з'єднання резисторів $R_{4}$ і $R_{2}+R_{3}.$

Див. також

Примітки

↑ В українськомовній літературі іноді зустрічається некоректна транскрипція прізвища — «Тевенін»
↑ L. Thévenin, Extension de la loi d'Ohm aux circuits électromoteurs complexes, Annales Télégraphiques (3eme série), vol. 10, 1883, pp. 222—224.; L. Thévenin, Sur un nouveau théorème d’électricité dynamique, Comptes rendus, vol. 97, 1883, pp. 159—161.

Література

Пейдж Ч. Алгебра електроніки = Алгебра электроники. — М. : Госэнерго, 1962. — 351 с.

[1] В українськомовній літературі іноді зустрічається некоректна транскрипція прізвища — «Тевенін»

[2] L. Thévenin, Extension de la loi d'Ohm aux circuits électromoteurs complexes, Annales Télégraphiques (3eme série), vol. 10, 1883, pp. 222—224.; L. Thévenin, Sur un nouveau théorème d’électricité dynamique, Comptes rendus, vol. 97, 1883, pp. 159—161.

[1]

[2]