Нехай для простоти позначень
u
(
t
)
=
g
(
J
(
t
)
,
J
(
t
)
)
,
v
(
t
)
=
h
(
J
~
(
t
)
,
J
~
(
t
)
)
{\displaystyle u(t)=g(J(t),J(t)),\ v(t)=h({\tilde {J}}(t),{\tilde {J}}(t))}
для
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle t\in [0,T]}
. Похідні цих функцій є рівні:
u
′
(
t
)
=
2
g
(
J
(
t
)
,
∇
γ
˙
(
t
)
J
(
t
)
)
,
v
′
(
t
)
=
2
h
(
J
~
(
t
)
,
∇
γ
~
˙
(
t
)
J
~
(
t
)
)
.
{\displaystyle u'(t)=2g(J(t),\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}J(t)),\ v'(t)=2h({\tilde {J}}(t),\nabla _{{\dot {\tilde {\gamma }}}(t)}{\tilde {J}}(t)).}
Із відсутності спряжених точок випливає, що
u
(
t
)
≠
0
,
v
(
t
)
≠
0
{\displaystyle u(t)\neq 0,\ v(t)\neq 0}
для всіх
t
∈
(
0
,
T
]
.
{\displaystyle t\in (0,T].}
Тому можна ввести функції
μ
(
t
)
=
I
0
t
(
J
)
u
(
t
)
{\displaystyle \mu (t)={\frac {I_{0}^{t}(J)}{u(t)}}}
і
ν
(
t
)
=
I
0
t
(
J
~
)
v
(
t
)
,
{\displaystyle \nu (t)={\frac {I_{0}^{t}({\tilde {J}})}{v(t)}},}
де, як у статті поле Якобі для деякого векторного поля
Y
{\displaystyle Y}
над геодезичною лінією
γ
{\displaystyle \gamma }
позначається:
I
a
b
(
Y
)
=
∫
a
b
[
g
(
∇
γ
˙
(
t
)
Y
,
∇
γ
˙
(
t
)
Y
)
−
g
(
R
(
Y
,
γ
˙
(
t
)
)
γ
˙
(
t
)
,
Y
)
]
d
t
.
{\displaystyle I_{a}^{b}(Y)=\int _{a}^{b}\left[g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(Y,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y)\right]dt.}
Із виразів для похідних
u
′
(
t
)
,
v
′
(
t
)
{\displaystyle u'(t),\ v'(t)}
і властивостей полів Якобі описаних у відповідній статті випливають рівності
u
′
(
t
)
=
2
μ
(
t
)
u
(
t
)
,
v
′
(
t
)
=
2
ν
(
t
)
v
(
t
)
.
{\displaystyle u'(t)=2\mu (t)u(t),\ v'(t)=2\nu (t)v(t).}
Розв'язки цих диференціальних рівнянь для всіх
t
∈
[
ε
,
T
]
{\displaystyle t\in [\varepsilon ,T]}
можна записати як:
u
(
t
)
=
u
(
ε
)
e
2
∫
ε
t
μ
d
t
,
v
(
t
)
=
v
(
ε
)
e
2
∫
ε
t
ν
d
t
.
{\displaystyle u(t)=u(\varepsilon )e^{2\int _{\varepsilon }^{t}\mu dt},\quad v(t)=v(\varepsilon )e^{2\int _{\varepsilon }^{t}\nu dt}.}
Також
lim
ε
→
0
u
(
ε
)
=
lim
ε
→
0
v
(
ε
)
=
0
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}u(\varepsilon )=\lim _{\varepsilon \to 0}v(\varepsilon )=0}
і з запису для похідних також
lim
ε
→
0
u
′
(
ε
)
=
lim
ε
→
0
v
′
(
ε
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}u'(\varepsilon )=\lim _{\varepsilon \to 0}v'(\varepsilon )=0.}
Натомість
lim
ε
→
0
u
″
(
ε
)
=
lim
ε
→
0
g
(
∇
γ
˙
(
ε
)
J
,
∇
γ
˙
(
ε
)
J
)
+
g
(
J
(
ε
)
,
∇
γ
˙
(
ε
)
2
J
)
=
g
(
∇
γ
˙
(
0
)
J
,
∇
γ
˙
(
0
)
J
)
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}u''(\varepsilon )=\lim _{\varepsilon \to 0}g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(\varepsilon )}J,\nabla _{{\dot {\gamma }}(\varepsilon )}J)+g(J(\varepsilon ),\nabla _{{\dot {\gamma }}(\varepsilon )}^{2}J)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}J,\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}J)}
Аналогічно
lim
ε
→
0
v
″
(
ε
)
=
h
(
∇
γ
˙
(
0
)
J
~
,
∇
γ
˙
(
0
)
J
~
)
.
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}v''(\varepsilon )=h(\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}{\tilde {J}},\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}{\tilde {J}}).}
Згідно другої властивості у твердженні теореми ці два вирази є рівними між собою і не рівними нулю, тому
lim
ε
→
0
u
″
(
ε
)
v
″
(
ε
)
=
1
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {u''(\varepsilon )}{v''(\varepsilon )}}=1}
і тому згідно правила Лопіталя також
lim
ε
→
0
u
(
ε
)
v
(
ε
)
=
1.
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {u(\varepsilon )}{v(\varepsilon )}}=1.}
Як наслідок
u
(
t
)
v
(
t
)
=
lim
ε
→
0
e
2
∫
ε
t
μ
−
ν
d
t
.
{\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}e^{2\int _{\varepsilon }^{t}\mu -\nu dt}.}
Звідси для доведення теореми достатньо довести, що
μ
(
t
)
⩽
ν
(
t
)
{\displaystyle \mu (t)\leqslant \nu (t)}
для всіх
t
∈
(
0
,
T
]
.
{\displaystyle t\in (0,T].}
Нехай
c
∈
(
0
,
T
]
{\displaystyle c\in (0,T]}
— деяка точка і
J
1
=
J
u
(
c
)
,
J
~
1
=
J
~
v
(
c
)
.
{\displaystyle J^{1}={J \over {\sqrt {u(c)}}},\ {\tilde {J}}^{1}={{\tilde {J}} \over {\sqrt {v(c)}}}.}
Векторні поля
J
1
{\displaystyle J^{1}}
і
J
~
1
{\displaystyle {\tilde {J}}^{1}}
є полями Якобі над відповідними геодезиками і вони мають одиничну довжину у точках
γ
(
c
)
{\displaystyle \gamma (c)}
і
γ
~
(
c
)
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}(c)}
.
Нехай
U
t
{\displaystyle U_{t}}
і
V
t
{\displaystyle V_{t}}
позначають підпростори дотичних просторів у точках
γ
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t)}
і
γ
~
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}
, що є ортогональними до
γ
˙
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}
і
γ
~
˙
(
t
)
.
{\displaystyle {\dot {\tilde {\gamma }}}(t).}
Нехай
f
c
{\displaystyle f_{c}}
є лінійним ізоморфізмом із
V
c
{\displaystyle V_{c}}
у
U
c
{\displaystyle U_{c}}
для якого
g
(
f
c
(
X
)
,
f
c
(
Y
)
)
=
h
(
X
,
Y
)
,
∀
X
,
Y
∈
V
c
{\displaystyle g(f_{c}(X),f_{c}(Y))=h(X,Y),\ \forall X,Y\in V_{c}}
і
J
1
(
γ
(
c
)
)
=
f
c
(
J
~
1
(
γ
~
(
c
)
)
)
.
{\displaystyle J^{1}(\gamma (c))=f_{c}({\tilde {J}}^{1}({\tilde {\gamma }}(c))).}
Також позначимо
F
t
c
{\displaystyle F_{t}^{c}}
(і
F
~
t
c
{\displaystyle {\tilde {F}}_{t}^{c}}
) оператор паралельного перенесення вздовж геодезичної лінії
γ
{\displaystyle \gamma }
із точки
γ
(
c
)
{\displaystyle \gamma (c)}
у точку
γ
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t)}
(відповідно вздовж геодезичної лінії
γ
~
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}}
із точки
γ
~
(
c
)
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}(c)}
у точку
γ
~
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}
). Тоді також можна визначити оператори
f
t
{\displaystyle f_{t}}
із
U
t
{\displaystyle U_{t}}
у
V
t
{\displaystyle V_{t}}
із рівнянь
f
t
∘
F
~
t
c
=
F
t
c
∘
f
c
.
{\displaystyle f_{t}\circ {\tilde {F}}_{t}^{c}=F_{t}^{c}\circ f_{c}.}
Нехай
Z
(
γ
(
t
)
)
=
f
t
(
J
~
1
(
γ
~
(
t
)
)
)
.
{\displaystyle Z(\gamma (t))=f_{t}({\tilde {J}}^{1}({\tilde {\gamma }}(t))).}
Оскільки
f
t
{\displaystyle f_{t}}
переводить ортонормальну сисмему паралельних векторних полів, то координати
Z
{\displaystyle Z}
і
J
~
1
{\displaystyle {\tilde {J}}^{1}}
у відповідних системах є рівними, як і координати
∇
γ
˙
Z
{\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}Z}
і
∇
γ
~
˙
J
~
1
.
{\displaystyle \nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1}.}
Звідси випливає, що
g
(
Z
,
Z
)
γ
(
t
)
=
h
(
J
~
1
,
J
~
1
)
γ
~
(
t
)
{\displaystyle g(Z,Z)_{\gamma (t)}=h({\tilde {J}}^{1},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}}
і також
g
(
∇
γ
˙
Z
,
∇
γ
˙
Z
)
γ
(
t
)
=
h
(
∇
γ
~
˙
J
~
1
,
∇
γ
~
˙
J
~
1
)
γ
~
(
t
)
{\displaystyle g(\nabla _{\dot {\gamma }}Z,\nabla _{\dot {\gamma }}Z)_{\gamma (t)}=h(\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1},\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}}
для всіх
t
∈
[
0
,
T
]
.
{\displaystyle t\in [0,T].}
Для введених векторних полів справедливими є нерівності:
I
0
c
(
J
1
)
⩽
I
0
c
(
Z
)
⩽
I
0
c
(
J
~
1
)
.
{\displaystyle I_{0}^{c}(J^{1})\leqslant I_{0}^{c}(Z)\leqslant I_{0}^{c}({\tilde {J}}^{1}).}
Перша нерівність випливає із мінімізуючої властивості полів Якобі для
I
0
c
{\displaystyle I_{0}^{c}}
у статті поле Якобі (оскільки за побудовою
Z
γ
(
0
)
=
J
γ
(
0
)
1
=
0
,
Z
γ
(
c
)
=
J
γ
(
c
)
1
{\displaystyle Z_{\gamma (0)}=J_{\gamma (0)}^{1}=0,\ Z_{\gamma (c)}=J_{\gamma (c)}^{1}}
), а друга — із властивості 4 у твердженні теореми і означення і властивостей
Z
.
{\displaystyle Z.}
А саме оскільки
g
(
Z
,
Z
)
γ
(
t
)
=
h
(
J
~
1
,
J
~
1
)
γ
~
(
t
)
{\displaystyle g(Z,Z)_{\gamma (t)}=h({\tilde {J}}^{1},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}}
і
g
(
Z
,
γ
˙
(
t
)
)
=
h
(
J
~
1
,
γ
~
˙
(
t
)
)
=
0
{\displaystyle g(Z,{\dot {\gamma }}(t))=h({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))=0}
, а також
g
(
γ
˙
(
t
)
,
γ
˙
(
t
)
)
=
h
(
γ
~
˙
(
t
)
,
γ
~
˙
(
t
)
)
=
1
{\displaystyle g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=h({\dot {\tilde {\gamma }}}(t),{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))=1}
то з
K
(
Z
,
γ
˙
(
t
)
)
⩾
K
~
(
J
~
1
,
γ
~
˙
(
t
)
)
{\displaystyle K(Z,{\dot {\gamma }}(t))\geqslant {\widetilde {K}}({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))}
випливає, що
g
(
R
(
Z
,
γ
˙
)
γ
˙
,
Z
)
γ
(
t
)
=
K
(
Z
,
γ
˙
)
γ
(
t
)
⋅
g
(
Z
,
Z
)
γ
(
t
)
⩾
h
(
R
~
(
J
~
1
,
γ
~
˙
)
γ
~
˙
,
J
~
1
)
γ
~
(
t
)
=
K
~
(
J
~
1
,
γ
~
˙
(
t
)
)
⋅
h
(
J
~
1
,
J
~
1
)
γ
~
(
t
)
.
{\displaystyle g(R(Z,{\dot {\gamma }}){\dot {\gamma }},Z)_{\gamma (t)}=K(Z,{\dot {\gamma }})_{\gamma (t)}\cdot g(Z,Z)_{\gamma (t)}\geqslant h({\tilde {R}}({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}){\dot {\tilde {\gamma }}},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}={\widetilde {K}}({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))\cdot h({\tilde {J}}^{1},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}.}
Остаточно нерівність випливає із врахуванням того, що
g
(
∇
γ
˙
Z
,
∇
γ
˙
Z
)
γ
(
t
)
=
h
(
∇
γ
~
˙
J
~
1
,
∇
γ
~
˙
J
~
1
)
γ
~
(
t
)
{\displaystyle g(\nabla _{\dot {\gamma }}Z,\nabla _{\dot {\gamma }}Z)_{\gamma (t)}=h(\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1},\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}}
і означення
I
0
c
(
Z
)
{\displaystyle I_{0}^{c}(Z)}
і
I
0
c
(
J
~
1
)
.
{\displaystyle I_{0}^{c}({\tilde {J}}^{1}).}
Але
μ
(
c
)
=
I
0
c
(
J
)
u
(
c
)
=
I
0
c
(
J
1
)
{\displaystyle \mu (c)={\frac {I_{0}^{c}(J)}{u(c)}}=I_{0}^{c}(J^{1})}
і аналогічно
ν
(
c
)
=
I
0
c
(
J
~
)
v
(
c
)
=
I
0
c
(
J
~
1
)
{\displaystyle \nu (c)={\frac {I_{0}^{c}({\tilde {J}})}{v(c)}}=I_{0}^{c}({\tilde {J}}^{1})}
і з попередньої нерівності
μ
(
c
)
⩽
ν
(
c
)
.
{\displaystyle \mu (c)\leqslant \nu (c).}
Оскільки точка була вибрана довільно, то
μ
(
t
)
⩽
ν
(
t
)
{\displaystyle \mu (t)\leqslant \nu (t)}
для всіх
t
∈
(
0
,
T
]
.
{\displaystyle t\in (0,T].}