Теорема Пікара — Лінделефа

Теорема Пікара — Лінделефа — математична теорема про існування і єдиність розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Твердження

Нехай маємо звичайне диференціальне рівняння:

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.$

Нехай функція у правій частині $f:\Pi \to \mathbb {R}$ визначена у деякому прямокутнику $\Pi :=\{(t,y)\in \mathbb {R} ^{2}:|t-t_{0}|\leqslant a,|y-y_{0}|\leqslant b\}$ є неперервною по першому аргументу і задовольняє умову Ліпшіца щодо другого аргументу, тобто існує додатне число L, що для будь-яких точок (t, y^*) і (t, y^**) з прямокутника $\Pi$ виконується умова:

$|f(t,y^{*})-f(t,y^{**})|\leqslant L|y^{*}-y^{**}|.$

Тоді на відрізку $t\in [t_{0}-\epsilon ,t_{0}+\epsilon ],$ де $\epsilon :=\min \left(a,{\frac {b}{M}}\right),\,M:=\max _{(t,y)\in \Pi }|f(t,y)|$ задача Коші має єдиний розв'язок.

Література

• Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк I.О. Диференціальні рівняння: Підручник. — К.: Либідь, 2003 р. — 600с