Теорема Марцинкевича

Теорема Марцинкевича — твердження в теорії ймовірностей.

Нехай $\{a_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ — послідовність комплексних чисел, яка не має скінченної граничної точки. Показником збіжності послідовності $\{a_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ називається точна нижня межа тих чисел $\lambda >0$, для яких збігається ряд

$\sum _{a_{k}\neq 0}|a_{k}|^{-\lambda }$

(якщо цей ряд розбігається при будь-якому $\lambda >0$, показником збіжності вважають $\infty$). Відомо, що показник збіжності коренів цілої функції не перевищує порядок цілої функції.

Формулювання теореми

Нехай $\varphi (t)$ — характеристична функція. Припустимо, що $\varphi (t)$ — ціла функція скінченного порядку $\rho$, показник збіжності послідовності коренів якої дорівнює $\rho _{1}$. Якщо $\rho _{1}<\rho$, то $\rho \leq 2.$

Наслідок

Нехай $\varphi (t)$ — характеристична функція виду

$\varphi (t)=e^{P(t)},$

де $P(t)$ — многочлен. Тоді $P(t)=ist-\sigma t^{2},$ де $s\in \mathbb {R}$, $\sigma \geq 0,$ тобто $\varphi (t)$ — характеристична функція нормального розподілу, можливо виродженого.

Іноді саме цей наслідок і називають теоремою Марцинкевича. Теорема Марцинкевича часто використовується при характеризації нормального розподілу.

Література

• J. Marcinkiewicz. Sur une propriéte de la loi de Gauss. Math. Zeitschr. 44, (1938), 612—618.
• Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972.

[