Теорема Ляйбніца (геометрія)

Не плутати з теоремою Ляйбніца про збіжність знакозмінних рядів.

Теорема або формула Ляйбніца - твердження про медіани:

Медіани трикутника $ABC$ перетинаються в точці $M$ . Для довільної точки $O$ площини виконується рівність

AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}=3OM^{2}+AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}.

З теореми Ляйбніца випливає, що серед усіх точок площини точка перетину медіан є точкою, для якої сума квадратів відстаней до вершин трикутника має найменше значення.

Аналогічне твердження справедливе для тетраедра: сума квадратів відстаней від точки до вершин тетраедра мінімальна для його центроїда^[1] — характеристична властивість центроїда.

Також, з цієї теореми випливає формула для медіани тетраедра^[2].

Примітки ред.

↑ Свойства центроида тетраэдра, теорема Лейбница
↑ Формула Лейбница. Архів оригіналу за 20 січня 2009. Процитовано 12 серпня 2009.

Література ред.

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр.67.
В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488с. стр.344-345.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 42. — ISBN 5-94057-170-0.
Ловушка для треугольника. В.Дубровский, В.Сендеров (розглядаються узагальнення).
Мадер В. В. Полифония доказательств. Учеб.пособие. М.: Мнемозина, 2009. 344 с.

[1] Свойства центроида тетраэдра, теорема Лейбница

[2] Формула Лейбница. Архів оригіналу за 20 січня 2009. Процитовано 12 серпня 2009.

[1]

[2]