Теорема Леві про монотонну збіжність

Теорема про монотонну збіжність — теорема теорії інтегрування Лебега, що має фундаментальне значення для функціонального аналізу і теорії ймовірностей, де є інструментом для доведення багатьох тверджень. Дає одну з достатніх умов при яких можна переходити до границі під знаком інтеграла Лебега, дозволяє довести існування межі у деяких обмежених функціональних послідовностей.

Твердження

Нехай $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — фіксований простір з мірою.

• Припустимо, що $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ - монотонна і майже всюди невід'ємна функціональна послідовність інтегровних за Лебегом функцій на $X$. Тоді

$\int \limits _{X}\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\,\mu (dx)=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{X}f_{n}(x)\,\mu (dx).$

• Нехай $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ — монотонно зростаюча функціональна послідовність. Причому інтеграли Лебега від функцій $f_{n}(x)$ обмежені в сукупності, тобто $\exists K:\forall n\in \mathbb {N} ,\int \limits _{X}{f_{n}(x)}\mu (dx)<K$. Тоді гранична функція $f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ скінченна майже всюди, інтегровна і $\int \limits _{X}f(x)\mu (dx)=\lim _{n\to \infty }\int \limits _{X}f_{n}(x)\mu (dx)$.
• Нехай ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\phi _{k}(x)$ складається з інтегровних невід'ємних функцій. Тоді якщо інтеграли від часткових сум ряду обмежені в сукупності:

$\int \limits _{X}\sum _{k=1}^{n}\phi _{k}(x)\mu (dx)\leq C$,

то ряд $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ сходиться до майже всюди скінченної інтегровної функції і

$\sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{X}\phi _{k}(x)\mu (dx)=\int \limits _{X}\phi (x)\mu (dx)$.

Формулювання з теорії ймовірностей

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій $\Omega$, вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ - монотонна послідовність невід'ємних майже напевно інтегровних випадкових величин. Тоді

$\mathbb {E} \left[\lim \limits _{n\to \infty }X_{n}\right]=\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} X_{n}$.

Література

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
• D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6