Теорема Лагранжа про чотири квадрати

Теорема Лагранжа про чотири квадрати стверджує, що довільне натуральне число можна подати у виді суми чотирьох квадратів цілих чисел.

Тобто для довільного натурального числа n, існують цілі числа a, b, c, d , такі що :

Наприклад:

Теорема доведена Лагранжем в 1770 році. Довільне натуральне число, що не записується у виді можна також записати як суму квадратів трьох чисел.

Доведення ред.

Для найменших натуральних чисел 1 і 2 розклад записано вище. Також для всіх чисел виконується тотожність чотирьох квадратів:

 

 
 
 
 

Звідси випливає, що якщо два довільні натуральні числа можна подати у виді суми чотирьох квадратів, то це ж можна зробити і для їх добутку. Відповідно твердження теореми достатньо довести для непарних простих чисел.

Спершу для такого простого числа   існує натуральне число   для якого   для деяких цілих   Це випливає з того, що цілі числа   для   не є рівними за модулем   Справді, якщо для двох таких різних чисел   то   і або різниця   або сума   ділиться на  , що не є можливим.

Аналогічно числа   для   не є рівними за модулем   Загалом є   число виду   або   із вказаними умовами і відповідно хоча б два із них належать одному класу лишків за модулем  . Це мають бути деякі числа   і  , тобто   і відповідно існує ціле число   для якого   Оскільки   то   і звідси також  

Зокрема також число   є сумою чотирьох квадратів   і один із доданків не ділиться на  .

Нехай тепер   є мінімальним натуральним числом, для якого існує розклад у суму чотирьох квадратів   де хоча б одне із цілих чисел   не ділиться на  . Для доведення теореми Лагранжа достатньо довести, що  

Число   є непарним. Адже якщо   є парним, то парним є і   Але тоді або всі   є парними або всі непарними або два парними і два непарними. В будь-якому випадку за допомогою перепозначень можна вважати, що   і   мають однакову парність, а також   і   мають однакову парність. Тоді:

 

Тобто   є сумою чотирьох квадратів не всі з яких діляться на   і це суперечить мінімальності числа  .

Якщо   є непарним числом, то існують числа   які є рівними   за модулем   і   Також не всі   діляться на   (в іншому випадку сума їх квадратів, яка є рівною  , ділилася б на   що не є можливим для  ) і тому хоча б одне із чисел   не є рівним 0. Відповідно згідно означень

 

Водночас   і існує ціле число   для якого  

Згідно тотожності чотирьох квадратів добуток   і   є рівний сумі квадратів деяких чотирьох цілих чисел і також:

 

Розглядаючи означення усіх   у тотожності чотирьох квадратів і враховуючи, що   і   є рівними за модулем   одержується, що всі   діляться на  , тобто  . Ділячи рівність   на   одержуємо, що   і   є рівним сумі чотирьох квадратів, що суперечить мінімальності  

Див. також ред.

Джерела ред.

  • Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
  • Andrews, George E. (1971). Number Theory. Philadelphia: W. B. Saunders Company.