Теорема Кантора — Гейне

Теорема Кантора — Гейне в математичному і функціональному аналізі стверджує, що функція, неперервна на компакті, рівномірно неперервна на ньому.

Формулювання

Нехай дано два метричних простори $(X,\varrho _{X})$ і $(Y,\varrho _{Y}).$ Нехай також дано компактну підмножину $K\subset X$ і визначено на ній неперервну функцію $f\colon K\to Y,f\in C(K).$ Тоді $f$ рівномірно неперервна на $K.$.

Доведення  

Скористаємося доведенням від супротивного. Нехай $f(x)$ — функція, що відповідає умовам теореми (на компакті $A$), але не рівномірно неперервна на ньому. Тоді існує таке $\varepsilon$, що для всіх $\delta >0$ існують такі $x$ та $y$, відстань між якими менше $\delta$, але відстань між їхніми образами не менше $\varepsilon$:

$\exists \epsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{\delta },y_{\delta }\in A\colon \quad d(x,y)<\delta ,$ але $d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .$

Візьмемо послідовність $\{\delta _{k}\}$, що сходяться до 0, наприклад, $\left\{{\frac {1}{k}}\right\}$. Побудуємо послідовності $x_{k}$ і $y_{k}$ так, щоб

$d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k}}$, тоді $d(f(x_{k}),f(y_{k}))>\varepsilon$

$A$ — компакт, тому можна виділити збіжні послідовності:

$x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\in A,\quad y_{k_{j}}\to {\bar {y}}\in A.$

Але так як відстань між ними прагне до нуля, по лемі про вкладені відрізки вони прагнуть до однієї точки: ${\bar {x}}={\bar {y}}=\zeta$. І, так як $f$ неперервна $f(x_{k_{j}}\to \zeta ),\quad f(y_{k_{j}}\to \zeta )\Rightarrow d(f(x_{k_{j}}),f(y_{k_{j}}))\to 0$, що суперечить припущенню, що $d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon$. Тому, функція, неперервна на компакті, дійсно рівномірно неперервна на ньому.

Зауваження

• Зокрема, неперервна дійснозначна функція, визначена на відрізку, $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ рівномірно неперервна на ньому.
• В умовах теореми компакт не можна замінити на довільну відкриту множину. Наприклад, функція

$f(x)={\frac {1}{x}},\;x\in (0,1)$

неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)