Теорема Кантора про перетини

Теорема Кантора про перетини об‘єднала у собі дві близькі між собою теореми загальної топології та аналізу функції дійсної змінної. Теорема, названа на честь Георга Кантора, стверджує, що вкладена послідовність непорожніх компактних замкнутих множин має непорожній перетин.

Топологічне твердження теореми

Теорема. Нехай $X$ є топологічним простором і підмножини $C_{n}\subset X$ є непорожніми, замкнутими і компактними. Нехай ці підмножини утворюють спадну послідовність підмножин, тобто

$C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots \supset C_{n}\supset C_{n+1}\supset \cdots .$

Тоді, їх перетин є непорожньою множиною:

$\bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}\neq \varnothing .$

Іншими словами існує точка $x\in X$ яка належить всім цим підмножинам, тобто $x\in C_{n}$, для всіх цілих $n\geqslant 0$.

У випадку, наприклад, гаусдорфових просторів довільна компактна підмножина є замкненою, тому у твердженні теореми вимогою замкнутості можна знехтувати.

Доведення. Припустимо, що $\bigcap C_{n}=\varnothing$. Позначимо також $U_{n}=C_{0}\backslash C_{n}$. Оскільки $\bigcup U_{n}=C_{0}\backslash {\big (}\bigcap C_{n}{\big )}$ і $\bigcap C_{n}=\varnothing$, то $\bigcup U_{n}=C_{0}$. Усі підмножини $C_{n}$ є замкнутими у $X$ і тому також замкнутими в $C_{0}$, у індукованій топології. Тому $U_{n}$ є відкритими підмножинами $C_{0}$. Оскільки $\bigcup U_{n}=C_{0}$, тобто $(U_{n})$ є відкритим покриттям і $C_{0}\subset X$ є компактною множиною, то існує скінченне підпокриття $\{U_{n_{1}},U_{n_{2}},\dots ,U_{n_{m}}\}$. Позначимо $M=\max \limits _{1\leq i\leq m}n_{i}$. Тоді, оскільки $U_{1}\subset U_{2}\subset \cdots \subset U_{n}\subset U_{n+1}\cdots$, то $\bigcup U_{n_{i}}=U_{M}$. Як наслідок $C_{0}=\bigcup U_{n_{i}}=U_{M}$.

Але тоді $C_{M}=C_{0}\backslash U_{M}=\varnothing$, що суперечить припущенню у твердженні теореми. Тому $\bigcap C_{n}\neq \varnothing$.

Твердження для дійсних чисел

В аналізі функції дійсної змінної теорема має такий самий висновок для замкнених і обмежених підмножин множини дійсних чисел $\mathbb {R}$. Теорема стверджує, що спадна вкладена послідовність $(C_{k})_{k\geq 0}$ непорожніх, замкнених і обмежених підмножин множини дійсних чисел $\mathbb {R}$ має непорожній перетин.

Це твердження випливає із загального топологічного твердження у світлі теореми Гейне Бореля, яка стверджує, що множини дійсних чисел є компактними, тоді й лише тоді, коли вони є замкненими і обмеженими. Однак, це зазвичай використовується як лема при доведенні теореми і тому вимагає окремого доведення.

Наприклад, якщо $C_{k}=[0,1/k]$, перетин всіх $(C_{k})_{k\geq 0}$ дорівнює $\{0\}$. З іншої сторони, послідовність відкритих обмежених множин ${\displaystyle C_{k}=(0,1/k)}$ так і послідовність необмежено замкнених множин $C_{k}=[k,\infty )$ мають порожній перетин. Всі ці послідовності є правильно вкладеними.

Цей варіант теореми узагальнюється на випадок $\mathbb {R} ^{n}$, множина n-елементних векторів дійсних чисел, але не узагальнюється на випадок довільних метричних просторів. Наприклад, у просторі раціональних чисел множини

$C_{k}={\big [}{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+1/k{\big ]}={\big (}{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+1/k{\big )}$

є замкненими і обмеженими, але їх перетин є порожнім.

Зауважимо, що це не суперечить ні топологічному твердженню, так як множини $C_{k}$ не є компактними, ні варіанту нижче, так як раціональні числа не є повними відносно звичайної метрики.

Простий наслідок теореми полягає в тому, що множина Кантора є непорожньою, оскільки вона визначається як перетин спадної вкладеної послідовності множин, кожна з яких визначається як об'єднання скінченного числа замкнених інтервалів. З цього випливає, що кожна з цих множин є непорожнью, замкненою і обмеженою. Насправді, множина Кантора містить у собі незлічену кількість точок.

Теорема. Нехай ${\displaystyle (C_{k})_{k\geq 0}}$ ― послідовність непорожніх, замкнених і обмежених підмножин множини дійсних чисел $\mathbb {R}$ така, що

$C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots C_{n}\supset C_{n+1}\cdots .$

Тоді

$\bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}\neq \varnothing .$

Доведення. Будь-яка непорожня, замкнена та обмежена підмножина $C_{k}\subset \mathbb {R}$ містить мінімальний елемент $x_{k}$. Оскільки для кожного $k$ маємо

$x_{k+1}\in C_{k+1}\subset C_{k}$,

то звідси випливає, що

$x_{k}\leq x_{k+1}$,

отже, $(x_{k})_{k\geq 0}$ є зростаючою послідовністю, яка містить обмежену множину $C_{0}$. За теоремою про монотонну збіжність для обмежених послідовностей дійсних чисел, існує гранична точка

$x=\lim _{k\to \infty }x_{k}.$

При фіксованому $k$ для всіх $j\geq k$ маємо, що $x_{j}\in C_{k}$, і оскільки $C_{k}$ є замкненою, а $x$ є граничною точкою, то з цього випливає, що $x\in C_{k}$. Вибір $k$ є довільним, тому $x$ належить $\bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}$, що і треба було довести.

Варіант у повних метричних просторах

У повних метричних просторах теорема набуває наступного вигляду:

Теорема. Нехай $X$ — повний метричний простір, $(C_{k})_{k\geq 1}$ — послідовність непорожніх, замкнених і вкладених підмножин множини простору $X$, діаметри яких збігаються до нуля

$\lim _{k\to \infty }\operatorname {diam} (C_{k})=0,$

де $\operatorname {diam} (C_{k})$ визначається як

$\operatorname {diam} (C_{k})=\sup\{d(x,y)\mid x,y\in C_{k}\}.$

Тому перетин підмножин $C_{k}$ містить лише одну точку:

$\bigcap _{k=1}^{\infty }C_{k}=\{x\}$

для деякої точки $x\in X$.

Схема доведення. Оскільки діаметри прямують до нуля, і діаметр перетину підмножин $C_{k}$ дорівнює нулю, то він або порожній, або складається з однієї точки. Отже, достатньо показати, що він не є порожнім. Виберемо елемент $x_{k}\in C_{k}$ для кожного $k$. Оскільки діаметр підмножин $C_{k}$ прямує до нуля, а послідовність $C_{k}$ є вкладеною, то елементи $x_{k}$ утворює послідовність Коші. Оскільки метричний простір є повним, то послідовність Коші збігається до деякої точки $x$. Оскільки кожна підмножина $C_{k}$ є замкненою і $x$ є границею послідовності в множині $C_{k}$, то точка $x$ повинна лежати в множині $C_{k}$. Це справедливо для кожного $k$, тому перетин підмножин $C_{k}$ повинен містити точку $x$. Обернене до цієї теореми твердження також справджується: якщо $X$ — метричний простір з властивістю, що перетин будь-якої вкладеної сім’ї непорожніх, замкнених підмножин, діаметри яких прямують до нуля, є непорожнім, то $X$ — повний метричний простір. (Для доведення, нехай ($(x_{k})_{k\geq 1}$ — послідовність Коші в просторі $X$, $C_{k}$ — замиканням підпослідовності $(x_{j})_{j\geq k}$ цієї послідовності.)

Див. також

• Компактний простір

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Jonathan Lewin (2003), An Interactive Introduction to Mathematical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-01718-1
• Weisstein, Eric W. Cantor's Intersection Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.