Теорема Дворецького

Теоре́ма Дворе́цького — стверджує, що кожна центрально-симетрична опукла множина досить високої розмірності має перетин, близький до еліпсоїда.

Довів на початку 1960-х років Ар'я Дворецький^[1] як відповідь на питання Александра Гротендіка. У 1970-х роках Віталій Мільман знайшов альтернативне доведення^[2], яке стало однією з початкових точок для розвитку принципу концентрації міри та асимптотичного геометричного аналізу^[3] .

Формулювання

Для будь-якого натурального числа $k$ і кожного $\varepsilon >0$ існує таке натуральне число $K$ , що якщо $(X,\|{*}\|)$ — нормований простір розмірності $K$ , то існує підпростір $E\subset X$ розмірності $k$ та додатна квадратична форма $Q$ на $E$ , така, що:

\|x\|\leqslant {\sqrt {Q(x)}}\leqslant (1+\varepsilon )\cdot \|x\|

для будь-якого $x\in E$ .

Примітки

↑ Dvoretzky, A. Some results on convex bodies and Banach spaces // Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalem, 1960). — Jerusalem : Jerusalem Academic Press, 1961. — С. 123—160.
↑ В. Д. Мильман. Новое доказательство теоремы А. Дворецкого о сечениях выпуклых тел // Функциональный анализ и его приложения. — 1971. — Т. 5, № 4.
↑ Gowers, W. T. The two cultures of mathematics // Mathematics: frontiers and perspectives. — Providence, RI : Amer. Math. Soc, 2000. — С. 65—78. — ISBN 0-8218-2070-2.

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

[1] Dvoretzky, A. Some results on convex bodies and Banach spaces // Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalem, 1960). — Jerusalem : Jerusalem Academic Press, 1961. — С. 123—160.

[2] В. Д. Мильман. Новое доказательство теоремы А. Дворецкого о сечениях выпуклых тел // Функциональный анализ и его приложения. — 1971. — Т. 5, № 4.

[3] Gowers, W. T. The two cultures of mathematics // Mathematics: frontiers and perspectives. — Providence, RI : Amer. Math. Soc, 2000. — С. 65—78. — ISBN 0-8218-2070-2.

[1]

[2]

[3]