Теорема Гротендіка про розщеплення

Теорема Гротендіка про розщеплення дає класифікацію голоморфних векторних розшарувань над комплексною проективною прямою. А саме, вона стверджує, що кожне голоморфне векторне розшарування над $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ є прямою сумою голоморфних 1-вимірних розшарувань.

Історія

Теорему названо на честь Александра Гротендіка, який довів її в 1957 році. Вона еквівалентна теоремі, доведеній 1913 року Джорджем Біркгофом, але була відома вже 1908 року Йосипу Племелю і 1905 року Давиду Гільберту.

Формулювання

Формулювання Гротендіка

Кожне голоморфне векторне розшарування ${\mathcal {E}}$ над $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ голоморфно ізоморфне прямій сумі лінійних розшарувань:

${\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}),$

де ${\mathcal {O}}(a)$ позначає розшарування з класом Черна $a$. Більш того, це подання єдине з точністю до перестановки доданків.

Формулювання Біркгофа

Оборотна матриця $M$, кожна компонента якої є многочленом Лорана від $z$, подається у вигляді добутку

$M=M^{+}M^{0}M^{-}$,

де матриця $M^{+}$ — многочлен від $z$, $M^{0}$ — діагональна матриця, і матриця $M^{-}$ — многочлен від ${\tfrac {1}{z}}$.

Застосування

• Теорема Гротендіка про розщеплення використовується в доведенні Мікалефа і Мура теореми про сферу з додатною комплексифікованою кривиною в ізотропних напрямках.

Варіації та узагальнення

• Той же результат має місце для алгебричних векторних розшарувань над $\mathbb {P} _{k}^{1}$ для будь-якого поля $k$.

Література

• Okonek, C.; Schneider, M.; Spindler, H. (1980), Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Mathematics, Birkhäuser.