називається алгебраїчним диференціальним рівнянням, яке в даному випадку має розв'язки та — функції Бесселя першого та другого роду відповідно; розв'язки та називаються диференціально алгебраїчними (або алгебраїчно трансцендентними).
Більшість знайомих спеціальних функцій математичної фізики є диференціально алгебраїчними.
Усі алгебраїчні комбінації диференціально алгебраїчних функцій є диференціально алгебраїчними.
Крім того, усі композиції диференціально алгебраїчних функцій є диференціально алгебраїчними.
Теорема Гельдера просто стверджує, що гамма-функція не є диференціально алгебраїчною і, отже, гіпертрансцендентною[en]. [2]
Оскільки ненульовий многочлен в ніколи не може бути нульовою функцію на будь-якій непорожній відкритій області в (за основною теоремою алгебри), то не втрачаючи загальності можна вважати, що многочлен містить одночлен ненульового степеня від однієї із змінних .
Припустимо, що має найнижчий можливий загальний степінь відносно лексикографічного впорядкування .
Наприклад,
оскільки найбільший степінь в будь-якому одночлені першого многочлена менший ніж у другого многочлена.
Далі зауважимо, що для всіх ,
Якщо визначити другий многочлен за допомогою перетворення
то отримаємо наступне алгебраїчне диференціальне рівняння для :
Більш того, якщо — одночлен найвищого степеня в многочлені , то одночлен найвищого степеня в многочлені має вигляд
Отже, многочлен
має менший загальний степінь ніж многочлен , і оскільки він породжує алгебраїчне диференціальне рівняння для , то він повинен бути нульовим многочленом за припущенням мінімальності многочлена .
Звідси визначаючи як
отримаємо
Тепер покладемо в многочлені :
Після заміни змінних отримуємо
і застосовуючи принцип математичної індукції (разом із заміною змінних на кожному кроці індукції) до попереднього виразу, отримуємо
Таким чином,
Це можливо лише, якщо ділиться на , але це суперечить припущенню про мінімальність многочлена .
Отже, такого многочлена не існує, і тому не є диференціально алгебраїчною. Що й треба було довести.[2][3]
↑ аб Rubel, Lee A. “A Survey of Transcendentally Transcendental Functions”, The American Mathematical Monthly96: pp. 777-788 (November 1989). JSTOR2324840
↑ Boros, George & Moll, Victor. Irresistible Integrals, Cambridge University Press, 2004, Cambridge Books Online, 30 December 2011. DOI:10.1017/CBO9780511617041.003