Теорема Гаусса — Люка

Теорема Гаусса — Люка описує геометричну залежність між коренями многочлена p(z) і коренями його похідної на комплексній площині $\mathbb {C} .$Теорема стверджує, що корені похідної многочлена лежать в опуклій оболонці коренів самого многочлена. Оскільки ненульовий многочлен має скінченну кількість коренів, то опукла оболонка цих коренів є найменшим опуклим многокутником на комплексній площині, що містить ці корені.

Деякою мірою це твердження є аналогом теореми Ролля для функцій однієї дійсної змінної, яка стверджує, що між двома нулями диференційовної функції знаходиться нуль її похідної.

Твердження

Якщо $p(z)$є многочленом із комплексними коефіцієнтами і не є рівним константі, то всі корені многочлена $p'(z)$ належать опуклій оболонці коренів многочлена $P(z)$.

Доведення

Згідно основної теореми алгебри можна записати

$p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\ldots (z-z_{n})$,

де $z_{k}$ є коренями многочлена (які можуть повторюватися), $a_{n}\neq 0$ — коефіцієнт біля $z^{n}$. Для такого запису многочлена похідну можна обчислити як:

$p'(z)=a_{n}((z-z_{2})\ldots (z-z_{n})+(z-z_{1})(z-z_{3})\ldots (z-z_{n})+\ldots +(z-z_{1})(z-z_{2})\ldots (z-z_{n-1}))$.

Поділивши $p'(z)$ на $p(z)$ одержується рівність

${\frac {p^{\prime }(z)}{p(z)}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z-z_{k}}}$.

Нехай $w\in \mathbb {C}$ позначає довільний корінь похідної: $p'(w)=0$. Якщо $w\in \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}$, то він очевидно належить опуклій оболонці цих чисел. Якщо $w\notin \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}$, то з попередньої рівності:

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{w-z_{k}}}=0$.

Використавши елементарну рівність $z^{-1}={\overline {z}}/|z|^{2}$ одержуємо.

$\ \sum _{k=1}^{n}{\frac {{\overline {w}}-{\overline {z_{k}}}}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}=0$

або після комплексного спряження

$\ \sum _{k=1}^{n}{\frac {w-z_{k}}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}=0.$

Попередню рівність можна переписати як:

$\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}\right)w=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}z_{k}.$

Якщо позначити

$t_{k}=\left({\frac {1}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}\right)/\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{\vert w-z_{j}\vert ^{2}}}\right)$

то, очевидно, $t_{1},\ldots t_{n}\in [0,1],\quad \sum _{k=1}^{n}t_{k}=1$, тобто

$w=\sum _{k=1}^{n}t_{k}z_{k}$,

Отже, $w$ є опуклою комбінацією $z_{1},\ldots ,z_{n},$ що завершує доведення.

Література

• Félix Lucas, Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations, C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX (1879), с. 224—226
• Marden, Morris (1966). Geometry of Polynomials. Mathematical Surveys and Monographs. Т. 3. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1503-2.
• Rahman, Q. I.; Schmeisser, G. (2002). Analytic theory of polynomials. London Mathematical Society Monographs. New Series. Т. 26. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006.
• Sheil-Small, T. (2002). Complex polynomials. Cambridge studies in advanced mathematics. Т. 75. Cambridge University Press. ISBN 0521400686.