Теорема Вілсона

В теорії чисел теорема Вілсона стверджує, що натуральне число $n>1$ є простим в тому і тільки тому випадку коли справджується рівність:

$(n-1)!\ \equiv \ -1\ \mod n$.

Або ж, в словесному формулюванні:

Якщо $p$ — просте число, тоді число $(p-1)!+1$ ділиться на $p$. Зворотньо: якщо $(p-1)!+1$ ділиться на $p$, тоді $p$ — просте число.

Історія

Теорема вперше була сформульована індійським математиком Бхаскарою, а згодом арабським вченим Ібн аль Хайтамом. В Європі її сформулював без доведення англійський математик Джон Вілсон, на честь якого вона названа. Перше відоме доведення дав Лагранж у 1773 році.

Доведення

Нехай $p$ деяке просте число. Елементарними обчисленнями можна переконатися, що теорема справджується для $p=2$ і $p=3$. Тож вважатимемо, що $p>3$. Якщо для деякого цілого справджується рівність:

$x^{2}\equiv 1\mod p$,

то справджується також $x^{2}-1\equiv 0\mod p$, або

$(x-1)\cdot (x+1)\equiv 0\mod p$,

Тож у випадку, якщо $1<x<p-1$, маємо $x=1$ або $x=p-1$.

Якщо ж $2<x<p-2$, тоді існує деяке $2<y<p-2$, відмінне від $x$, таке, що $xy\equiv 1\mod p$. Таким чином справджується:

$2\cdot ...\cdot (p-2)\equiv 1\mod p$.

Дана рівність еквівалентна наступній:

$1\cdot ...\cdot (p-1)\equiv p-1\mod p$,

звідки випливає, що $(p-1)!+1$ ділиться на $p$. Тоді $a\ |\ (p-1)!$ і як наслідок

$a\cdot b\ |\ (p-1)!\cdot b$

зважаючи, що $p=a\cdot b$ маємо

$(p-1)!\cdot b\equiv 0\mod p$,

звідки

$(p-1)!\cdot b\not \equiv (-1)\cdot b\mod p$.

Тому маємо

$(p-1)!\ \not \equiv \ -1\mod p$

і число $(p-1)!+1\;$ не ділиться на $p$.

Застосування теореми

Теорема Вілсона може бути використана для перевірки чисел на простоту. Наприклад відповідний алгоритм на мові С++:

int factorial(int x) {
    if( x == 0 ) return 1;
    return x * factorial (x - 1) % p;
}
bool simpleInt (int p)
{
  return (factorial (p-1)+1)%p==0;
}

Проте через складність обчислення факторіалу даний метод є дуже неефективним.

Дивись також

• Мала теорема Ферма
• Китайська теорема про залишки
• Модульна арифметика
• Факторіал
• Теорема Волстенголма

Література

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Бухштаб А. А. Теория чисел, 2-е издание, М., 1966
• Трост Э. Простые числа, пер. с нем., М., 1959