Теорема Больцано — Веєрштрасса

Теоре́ма Больцано — Веєрштра́сса — твердження в математичному аналізі, згідно з яким, із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

Історія

Ця теорема доведена в 1817 році чеським математиком Бернардом Больцано (1781–1848), на півстоліття пізніше була незалежно отримана Карлом Веєрштрассом (1815–1897).

Узагальнення в топології

Про узагальнення цієї теореми в топології. Нехай $(X,\mathrm {T} )$ — топологічний простір, $A$ — підмножина $X$. Тоді:

• Якщо $A$ — компакт, то для будь-якої послідовності $\{x_{n}\}$ з $A$ будь-яка гранична точка цієї послідовності також належить $A$.
• І навпаки, якщо для кожної послідовності з підмножини гранична точка належить множині, і окрім цього $(X,\mathrm {T} )$ задовільняє другу аксіому зліченності, то $A$ є компактною підмножиною.

Зокрема якщо $(X,\mathrm {T} )$ задовільняє другу аксіому зліченності, то $A$ буде компактною тоді і лише тоді коли для кожної послідовності з $A$ гранична точка належить їй.

Класична теорема

Нехай $\{x_{n}\}$ — будь-яка обмежена послідовність дійсних чисел, тобто

${\bigl (}\exists a\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\exists b\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\forall n\in \mathbb {N} {\bigr )}\{a\leqslant x_{n}\leqslant b\}$

З неї завжди можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення

Розділимо відрізок $[a,b]$ точкою ${\frac {a+b}{2}}$ навпіл. Тоді хоча б один із відрізків

$\left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]$ чи $\left[{\frac {a+b}{2}},b\right]$ —

містить нескінченну кількість членів послідовності $\{x_{n}\}$. Позначимо такий відрізок $[a_{1},b_{1}]$. Аналогічно утворимо відрізки

$\left[a_{1},{\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}\right]$ та $\left[{\frac {a_{1}+b_{1}}{2}},b_{1}\right]$,

хоча б один з яких теж містить нескінченну кількість членів послідовності $\{x_{n}\}$.

Позначимо його $[a_{2},b_{2}]$ . Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність вкладених відрізків

$[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset [a_{3},b_{3}]\supset [a_{4},b_{4}]\supset \ldots [a_{k},b_{k}]\supset \ldots$ ,

довжина яких

$d_{k}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ b_{k}-a_{k}={\frac {b-a}{2^{k}}}$.

Оскільки

$\lim _{k\to \infty }d_{k}=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {b-a}{2^{k}}}=0$,

то, згідно з теоремою про принцип вкладених відрізків

$\lim _{k\to \infty }a_{k}=\lim _{k\to \infty }b_{k}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ c$,

Виберемо послідовність $\{x_{n_{k}}\}$ так. Нехай $x_{n_{1}}$ — будь-який із членів послідовності $\{x_{n}\}$, що належить відрізку $[a_{1},b_{1}]$;

$x_{n_{2}}$ — будь-який із членів послідовності $\{x_{n}\}$, що належить відрізку $[a_{2},b_{2}]$ і такий, що $n_{2}>n_{1}$.

Такий член завжди існує, оскільки відрізок $[a_{2},b_{2}]$ містить нескінченно багато членів послідовності $\{x_{n}\}$.

І взагалі, $x_{n_{k}}$ — будь-який із членів послідовності $\{x_{n}\}$, що належить відрізку $[a_{k},b_{k}]$ і такий, що $n_{k}>n_{k-1}$.

Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність $\{x_{n_{k}}\}$, причому

$n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{k}<\ldots$

і виконують нерівності

$a_{k}\leqslant x_{n_{k}}\leqslant b_{k}$

Враховуючи, згідно з теоремою про три послідовності, маємо

$\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=c$.

Наслідок

З будь-якої послідовності дійсних чисел можна виділити підпослідовність, збіжну в $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$.

Доведення

Нехай $\{x_{n}\}$ — довільна послідовність. Якщо $\{x_{n}\}$ — обмежена, то за теоремою Больцано — Веєрштрасса з неї можна виділити збіжну підпослідовність.

Якщо $\{x_{n}\}$ — необмежена зверху, то

${\bigl (}\forall k\in \mathbb {N} {\bigr )}{\bigl (}\exists n_{k}\in \mathbb {N} {\bigr )}\{x_{n_{k}}>k\}$.

Доведемо, що

$\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=+\infty$ .

Справді, оскільки

${\bigl (}\forall M\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\exists K\in \mathbb {N} {\bigr )}\{K>M\}$,

то

${\bigl (}\forall M\in \mathbb {R} {\bigr )}{\bigl (}\exists K\in \mathbb {N} {\bigr )}{\bigl (}\forall k>K{\bigr )}\{x_{n_{k}}>M\}$,

що й означає виконання співвідношення.

Див. також

• Часткова границя послідовності
• Верхня границя послідовності
• Нижня границя послідовності
• Фундаментальна послідовність
• Критерій Коші
• Три послідовності
• Послідовність вкладених відрізків

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Вища математика — 2. Навчальний посібник для студентів технічних напрямків підготовки / Укладач: В. В. Бакун. — К.: НТУУ «КПІ», 2013. — 270 с.
• Л. Д. Кудрявцев, Теорема Больцано — Вейерштрасса // Математическая энциклопедия. Том 1, онлайн (англ.): Bolzano-Weierstrass theorem // Encyclopedia of Mathematics