Нехай — голоморфна функція в деякій області, що містить одиничний круг . Припустимо що . Тоді існує круг , на якому дана функція є ін'єктивною і образ містить круг радіуса більшого, ніж . Зокрема обернена функція на цьому крузі буде біголоморфізмом.
З цього твердження легко одержується узагальнення: якщо — область у , — голоморфна функція і для деякої точки . Тоді містить відкрите кого радіуса , де , на якому існує обернена біголоморфна функція.
Якщо є голоморфною функцією в одиничному крузі з властивістю , тоді образ містить круг радіуса , де є абсолютною константою, що не залежить від конкретної функції.
Ця теорема, яка іноді також називається теоремою Блоха — Ландау, названа на честь Едмунда Ландау.
Число B, що рівне супремуму всіх b, для яких справджується теорема Блоха, називається константою Блоха . Згідно теореми Блоха але точне значення B залишається невідомим.
Подібним чином визначена константа L в теоремі Ландау називається константою Ландау. Її точне значення теж не є відомим.
Найточнішими відомими обмеженнями для B є
де позначає Гамма-функцію. Нижня межа була знайдена у статті Чена і Готьє, верхня межа — у статті Альфорса і Грунського.
Для константи Ландау відомі обмеження
В своїй статті Альфорс і Грунський сформулювали гіпотезу, що вказані верхні обмеження є рівними константам Блоха і Ландау.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
Ahlfors, Lars Valerian; Grunsky, Helmut (1937). Über die Blochsche Konstante. Mathematische Zeitschrift. 42 (1): 671—673. doi:10.1007/BF01160101.
Baernstein, Albert II; Vinson, Jade P. (1998). Local minimality results related to the Bloch and Landau constants. Quasiconformal mappings and analysis. Ann Arbor: Springer, New York. с. 55—89.
Bloch, André (1925). Les théorèmes de M.Valiron sur les fonctions entières et la théorie de l'uniformisation. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 17 (3): 1—22. ISSN0240-2963.
Chen, Huaihui; Gauthier, Paul M. (1996). On Bloch's constant. Journal d'Analyse Mathématique. 69 (1): 275—291. doi:10.1007/BF02787110.
John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.