Теорема Барб'є
Теоре́ма Барб'є́ — теорема французького астронома і математика Еміля Барб'є, що описує довжину кривих сталої ширини. Сформульована і доведена Барб'є в 1860 році.
Формулювання ред.
Теорема.
Довжина будь-якої кривої сталої ширини дорівнює .
Доведення ред.
Існує кілька доведень теореми Барб'є:
- Базується на методах опуклої геометрії. З одного боку, опукла фігура є фігурою сталої ширини , якщо і тільки якщо сума Мінковського і її образу при центральній симетрії виявляється колоом радіуса . З іншого боку, при сумі за Мінковським плоских опуклих фігур, їх периметри складаються, периметр фігури сталої ширини дорівнює половині периметра кола радіуса , тобто .[1]
- Базується на теорії ймовірностей. Барб'є довів теорему, яка узагальнює відому відповідь в задачі Бюффона про кидання голки. Він показав, що при киданні опуклої фігури на площину, розкреслену лініями на відстані одна від одної, якщо фігура не може перетнути більше однієї з цих ліній, то ймовірність, що фігура перетне одну з ліній, дорівнює , де — периметр цієї фігури[2][3]. Оскільки фігура сталої ширини задовольняє умові цієї теореми для , а ймовірність перетину в цьому випадку дорівнює одиниці, її периметр повинен дорівнювати .[4]
Варіації та узагальнення ред.
- Теорема Барб'є так само виконується для фігур сталої ширини в площині Мінковського.
- Формула Крофтона
Примітки ред.
- ↑ Bogomolny A. The Theorem of Barbier. Cut The Knot (англійською) . Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.
- ↑ [E.] Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Т. 5. — С. 273—286.
- ↑ Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Т. 55 (6). — С. 501-524.
- ↑ Bogomolny A. Math Surprises: An Example. Cut The Knot (англійською) . Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.
Література ред.
- Barbier E. . — Т. 5. — С. 273—286.
- Bogomolny A. The Theorem of Barbier. Cut the Knot (англійською) . Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.
- Barbier theorem // Encyclopaedia of Mathematics. — Berlin : Springer-Verlag, 2002. — ISBN 1-4020-0609-8. (англ.)
- Weisstein, Eric W. Barbier's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.