Теорема Александера про передбази

Теоремою Александера про передбази у топології називається твердження яке характеризує властивість компактності за допомогою передбази топології.

Твердження ред.

Нехай $X$ є топологічним простором із передбазою $B$ . Якщо кожне покриття простору $X$ елементами із $B$ має скінченне підпокриття, тоді простір є компактним.

Доведення ред.

Припустимо, що простір $X$ не є компактним але кожне покриття елементами із $B$ має скінченне підпокриття. Позначимо ${\mathcal {F}}$ — сім'ю всіх відкритих покриттів простору $X$ , що не мають скінченних підпокриттів. За припущенням ${\mathcal {F}}\neq \emptyset .$

На ${\mathcal {F}}$ можна ввести відношення часткового порядку: для $C_{1},C_{2}\in {\mathcal {F}}$ відношенення $C_{1}<C_{2}$ виконується якщо $C_{1}\subset C_{2}.$ Для кожної лінійно впорядкованої підмножими $\{C_{i}\}_{i\in I}$ елементів із ${\mathcal {F}}$ існує верхня межа ${\tilde {C}}=\bigcup _{i\in I}C_{i}$ (очевидно ${\tilde {C}}$ є покриттям $X$ ). Тому, згідно леми Цорна, можна знайти відкрите покриття $C$ , що є максимальним елементом ${\mathcal {F}}.$ Тобто, якщо $V$ є відкритою підмножиною $X$ , яка не належить $C$ , тоді $C \cup {V$ } має скінченне підпокриття, для якого $V$ є одним із елементів.

$C \cap B$ не є покриттям простору $X$ . Якби це було не так то це би було покриття елементами $B$ і згідно припущення із $C \cap B$ можна було б виділити скінченне підпокриття яке також було б скінченним підпокриттям із $C$ . Це суперечить означенню $C$ .

Отже існує елемент $x$ із $X$ , що не належить жодній із множин із $C \cap B$ . Оскільки $C$ є покриттям $X$ то $x \in U$ для деякої відкритої множини $U \in C$ . Оскільки $B$ є передбазою, то для деяких множин $S 1, ..., S n \in B$ , згідно означення: $x \in S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S n \subseteq U$ .

Оскільки $x$ не належить жодній із множин із $C \cap B$ , то також $S i \notin C$ для кожного $i$ . (Якщо $S i \in C$ для деякого i, тоді також $S i \in C \cap B$ і тому $x \in S i \in C \cap B$ ). Із максимальності покриття $C$ , для кожного $i$ існує скінченна підмножина $C S i$ покриття $C$ для якої ${S i} \cup C S i$ є скінченним покриттям простору $X$ . Позначимо $C F$ об'єднання скінченних множин $C S i$ для всіх $i$ із 1 до n. Тоді для кожного $i$ скінченне покриття ${S i} \cup C S i$ простору $X$ можна замінити на більше скінченне покриття ${S i} \cup C F$ . Для кожного $i$ скінченна множина ${S i} \cup C F$ є покриттям простору $X$ , тому також ${S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S n} \cup C F$ є покриттям $X$ . Але, як було вказано вище, $S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S n \subseteq U$ де $U \in C$ . Тому ${U}\cup C F$ є скінченним покриттям $X$ елементами якого є множини із $C$ . Тобто для $C$ існує скінченне підпокриття, що суперечить вибору $C$ . Тобто для $X$ не існує покриттів відкритими множинами для яких не існує скінченних підпокриттів. Тобто $X$ є компактним простором.

Див. також ред.

Посилання ред.

Alexander's Subbasis Theorem на сайті Mathonline

Література ред.

Ciesielski, Krzysztof (1997). Set Theory for the Working Mathematician. London Mathematical Society Student Texts. Т. 39. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59441-3.